Espaces métriques et espaces vectoriels normés
389
Remarques
1. L'assertion quantifiée de la définition 7.16 indique que la suite (xn)n converge
vers e si et seulement si la suite réelle de terme général d(xn , f) converge vers O.
On déduit donc du théorème d'encadrement <59> pour les suites réelles ; le résultat suivant : s'il existe une suite réelle (an)n à termes positifs convergeant
vers 0 telle que pour tout n E N on ait 0 � d(xn , f) � an alors la suite (xn)n
converge vers e.
2. On dit que la suite (xn)n de l'espace métrique (E, d) diverge s'il n'existe pas
d'élément f dans E_ tel que la suite (xn)n converge vers f, c'est-à-dire si :
Vf EE 3t: EJR + V71e: EN 3n EN (n �rye: etd(xn ,f) > t:).
L
. d
1
.
, .
{ 6 0 ) , 11 (
3. a notion e convergence pour es smtes numenques ree es resp. complexes) étudiée dans le Cours de première année correspond à la définition 7.16
lorsque E est l'ensemble des réels muni de la distance subordonnée à la valeur absolue (resp. lorsque E est l'ensemble des complexes muni de la distance
subordonnée au module).
4. La suite Un )n converge vers f dans c 0 ([a, b], IR) muni de la distance subordonnée à la norme uniforme Noo : f E C 0 ([0, 1], IR) 1-+ supxE[O ,iJ lf(x)I si
371e: EN Vn EN (n � 'T/e: ===} sup lfn (x) - f(x)I � t:).
xE[ a , b)
On retrouve la notion de convergence uniforme d'une suite de fonctions étudiée
au chap. 2, voir la définition 2.2 p. 73. C'est la raison pour laquelle la norme Noo
est appelée norme de la convergence uniforme.
o
Exemples
1. Dans IR muni de la distance d : (x, y) E IR 2 1-+ 1 arctan(x) - arctan(y)I ,
la suite de terme général Xn = n est une suite qui diverge. En effet, quel
que soit le réel e, la suite de terme général d(xn, f) = 1 arctan(n) - arctan(f)I
converge vers � -arctan(f) et comme la fonction arc-tangente est à valeurs dans
J - �, H on a � - arctan(f) i= O. Cela indique qu'il n'existe pas de réel e tel
que la suite de terme général d(xn , f) puisse converger vers O.
2. Munissons l'espace vectoriel OC[X] de la distance d subordonnée à la norme <6 1 >
N: P E OC[X] 1-+ supxE [- l,l J IP(x)I . La suite (Pn)n de polynômes de OC[X] de
terme général Pn = �x n converge vers le polynôme nul Ooc[x) dans (OC[X], d)
(s9) Vo ir le théorème 5.1 p. 179 du Cours de première année.
(oo) Vo ir la définition 5.1 p. 168 du Cours de p1·emière année.
<6 1 ) On pourra vérifier que l'application N définit bien une norme. Les conditions 1, 3 et 4 de
la définition 7.3 résultent directement des propriétés de la valeur absolue et de la borne
supérieure. Pour établir la deuxième condition, on remarquera que si N(P) = 0 alors
P(x) = 0 pour tout x E [- 1 , l] et par conséquent le polynôme P admet une infinité de
racines ; c'est donc le polynôme nul, voir le Cours de première année p. 248.
389
Remarques
1. L'assertion quantifiée de la définition 7.16 indique que la suite (xn)n converge
vers e si et seulement si la suite réelle de terme général d(xn , f) converge vers O.
On déduit donc du théorème d'encadrement <59> pour les suites réelles ; le résultat suivant : s'il existe une suite réelle (an)n à termes positifs convergeant
vers 0 telle que pour tout n E N on ait 0 � d(xn , f) � an alors la suite (xn)n
converge vers e.
2. On dit que la suite (xn)n de l'espace métrique (E, d) diverge s'il n'existe pas
d'élément f dans E_ tel que la suite (xn)n converge vers f, c'est-à-dire si :
Vf EE 3t: EJR + V71e: EN 3n EN (n �rye: etd(xn ,f) > t:).
L
. d
1
.
, .
{ 6 0 ) , 11 (
3. a notion e convergence pour es smtes numenques ree es resp. complexes) étudiée dans le Cours de première année correspond à la définition 7.16
lorsque E est l'ensemble des réels muni de la distance subordonnée à la valeur absolue (resp. lorsque E est l'ensemble des complexes muni de la distance
subordonnée au module).
4. La suite Un )n converge vers f dans c 0 ([a, b], IR) muni de la distance subordonnée à la norme uniforme Noo : f E C 0 ([0, 1], IR) 1-+ supxE[O ,iJ lf(x)I si
371e: EN Vn EN (n � 'T/e: ===} sup lfn (x) - f(x)I � t:).
xE[ a , b)
On retrouve la notion de convergence uniforme d'une suite de fonctions étudiée
au chap. 2, voir la définition 2.2 p. 73. C'est la raison pour laquelle la norme Noo
est appelée norme de la convergence uniforme.
o
Exemples
1. Dans IR muni de la distance d : (x, y) E IR 2 1-+ 1 arctan(x) - arctan(y)I ,
la suite de terme général Xn = n est une suite qui diverge. En effet, quel
que soit le réel e, la suite de terme général d(xn, f) = 1 arctan(n) - arctan(f)I
converge vers � -arctan(f) et comme la fonction arc-tangente est à valeurs dans
J - �, H on a � - arctan(f) i= O. Cela indique qu'il n'existe pas de réel e tel
que la suite de terme général d(xn , f) puisse converger vers O.
2. Munissons l'espace vectoriel OC[X] de la distance d subordonnée à la norme <6 1 >
N: P E OC[X] 1-+ supxE [- l,l J IP(x)I . La suite (Pn)n de polynômes de OC[X] de
terme général Pn = �x n converge vers le polynôme nul Ooc[x) dans (OC[X], d)
(s9) Vo ir le théorème 5.1 p. 179 du Cours de première année.
(oo) Vo ir la définition 5.1 p. 168 du Cours de p1·emière année.
<6 1 ) On pourra vérifier que l'application N définit bien une norme. Les conditions 1, 3 et 4 de
la définition 7.3 résultent directement des propriétés de la valeur absolue et de la borne
supérieure. Pour établir la deuxième condition, on remarquera que si N(P) = 0 alors
P(x) = 0 pour tout x E [- 1 , l] et par conséquent le polynôme P admet une infinité de
racines ; c'est donc le polynôme nul, voir le Cours de première année p. 248.