388
Suites dans un espace métrique
Remarque La proposition 7.12 permet d'établir que dans un espace métrique
(E, d), les singletons {xo} avec xo E E sont des ensembles fermés. En effet ,
on a
{xo} = {x E E; d({xo},x) = 0} = {x E E ; d(xo,x) = O} = {xo},
car d étant une distance d(xo, x) = 0 {:;> x = xo. Par ailleurs, un sousensemble fini de E pouvant s'écrire comme la réunion finie des singletons formés
par les éléments qui le composent, c'est un ensemble fermé dans E, voir la
proposition 7.9.
o
DÉFINITION 7.15 (Distance entre deux ensembles)
Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sous-ensembles non vides
de E. On appelle distance de l'ensemble A à l'ensemble B et on note ô(A, B)
la borne inférieure de l'ensemble {d(x, y) ; (x, y) E A x B}.
7 .4 Suites dans un espace métrique
7.4.1 Définitions et propriétés
Une suite dans un ensemble E est une application définie sur cssJ Net qui est à
valeurs dans E :
N --t E
n t--- -t Xn
que l'on note (xn)n où Xn est appelé le terme général de la suite.
L'étude des propriétés liées à la convergence d'une suite nécessite de munir
l'ensemble E d'une distance d, autrement dit de considérer un espace métrique.
D t FINITION 7.16 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. On dit que la suite (xn)n converge s'il existe un élément f dans E
tel que :
L'élément f de E est appelé limite de la suite (xn)n et on dit que la suite
(xn)n converge vers e.
cssJ Plus généralement, on peut considérer un sous-ensemble Ni non borné de N, par
exemple N*.