Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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P = (xo, Y o)
o(P, V)
V
P � (xo, y , , z,, ) 1 JR'
o(P, P) /
Fig. 9 Distance d'un point à une droite dans IR.2 muni de la
distance euclidienne et distance d'un point à un plan dans IR3.
p
PROPOSITION 7.12 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E. On a
A= { x E E; o(x, A) = o}
où o(x, A) désigne la distance de l'élément X à l'ensemble A.
Démonstration !'.:: Soit X un élément de E tel que o(x, A) = inf d(x, y) =o.
yEA
Il résulte des propriétés de la borne inférieure c56' d'un ensemble de réels que :
et
(Vy E A d(x, y) � o) .
On déduit de la première partie de cette assertion que toute boule ouverte de
centre x et de rayon c contient au moins un élément Ye de A. Cela signifie
d'après la définition 7.9 que x E A.
!'.:: Réciproquement, montrons que si X E A alors o(x, A) = 0 ou, ce qui est équi(5 7 )
•
-
valent , montrons que SI o(x, A) -1- 0 alors X il résulte des propriétés de la borne inférieure <56' d'un ensemble de réels que :
(Ve E R:+ :lye E A d(ye,x) < o(x, A) + c) et (Vy E A d(x,y) � o(x, A)) .
Puisque pour tout y E A on a d(x, y) � o(x, A), la boule ouverte de centre X
et de rayon !o(x, A) ne contient aucun élément de A. Cela signifie, voir la
définition 7.9, que x D
(SG) Voir la proposition 3.2 p. 95 du Cours de première année.
<57) Il s'agit en effet de la contraposée de l'implication que l'on cherche à démontrer, voir la
proposition 1.2 p. 10 du Cours de première année.