386
Topologie dans un espace métrique
7 .3 . 5 Distance à un ensemble
DÉFINITION 7.14 (Distance d'un point à un ensemble)
Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble non vide de E. On
appelle distance de l'élément Xo de E à l'ensemble A et on note o(x, A) la
borne inférieure de l'ensemble {d(x,y) ; y E A}.
Remarques
1. Si A est non vide, la borne inférieure de l'ensemble {d(x, y) ; y E A} existe
bien car css> cet ensemble de réels est non vide et minoré par O. De plus, cette
borne inférieure o(x, A) est caractérisée par
(Ve ElR� 3ye EA d(ye,x) < o(x, A) + t:) et (Vy EA d(x, y)�o(x, A)) .
2. Pour tout (x, y) E Eon a l o(x, A) - o(y, A)I � d(x, y).
0
Nous allons voir avec les exemples qui suivent, que la définition 7.14 de la
distance d'un élément à un ensemble recouvre bien la notion de distance d'un
point à une droite ou à un plan définie en géométrie.
Exemples
1. Calculons dans JR 2 muni de la distance euclidienne, la distance du point P
de coordonnées (xo, Yo) à l'ensemble V= {(x, y) E JR 2 ; ax + by + c = O} où
(a, b, c) E JR 3 , b =/:- 0 (il s'agit d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées),
voir la figure 9. On a
o(P, V) = inf d 2 (P, Q ) = inf J(xo - x) 2 + ( Y o - y) 2
QE1J
(x,y)E1J
��t (xo - x) 2 + (yo +
ax t c )
2
En étudiant l'application f : x E lR 1--t (xo - x) 2 + (Yo + i(ax + c)) 2 , on vérifie
qu'elle atteint son maximum en x* = (xob 2 - aby 0 - ac)/(b 2 + a 2 ). On en déduit
que
l axo + byo + c l
Ja 2 + b 2
2. On peut établir de la même manière que dans JR 3 muni de la distance euclidienne, la distance du point P de coordonnées (xo, yo , zo) au plan
P = {(x, y, z) E JR 3 ; ax + by + cz + d = O} (où (a, b, c) =/:- (0, 0, 0)) est,
voir la figure 9,
o(P, P) = l axo + byo + czo + d l .
Ja 2 + b 2 + c 2
<55>
voir la proposition 3.2 p. 95 du Cours de première année.