Espaces métriques et espaces vectoriels normés
Fig. 8 Exemple d'une partie connexe de JR 2 muni de la distance
euclidienne à gauche et d'une partie non connexe à droite.
385
2. Plus généralement, nr muni de l'une des distances définies p. 354 est connexe.
De même, JR. n \ {O} est connexe pour la distance euclidienne.
Remarques
1. L'intersection de deux parties connexes n'est pas nécessairement connexe. On
montre que l'union de deux parties connexes dont l'intersection est non vide
est connexe. Si cette intersection est vide, l'union des deux parties connexes
peut être ou non connexe ; considérer successivement ) - oo, O[U[O, +oo[ et
J - oo, O[U[l , +oo[.
2. L'adhérence d'une partie connexe est connexe, mais son intérieur ne l'est pas
nécessairement.
3. Dans un espace vectoriel normé, les boules (ouvertes et fermées) sont connexes.
Attention, cette propriété n'est pas toujours vraie dans un espace métrique. o
Il existe une notion plus restrictive
(53) que la connexité : la connexité par arcs.
DÉFINITION 7.13 (Connexité par arcs)
Un espace métrique ( E, d) est dit connexe par arcs si pour tout (a, /3) E E 2
il existe une application continue <54l de [a, b] dans E telle que (a) = a et
efJ(b) = /3.
On appelle chemin dans un espace métrique (E, d) toute application continue
d'un intervalle [a, b] de lR. dans E. Un espace métrique (E, d) est donc connexe
par arcs si deux quelconques de ses points peuvent être joints par un chemin.
(53) On montre qu'un espace métrique connexe par arcs est un espace connexe.
(54) .
1.e. vérifiant: 'v'xo E [a, b] \le E IR+ 377 E IR+ \lx E [a, b] (lx - xol � 77 => d(
Fig. 8 Exemple d'une partie connexe de JR 2 muni de la distance
euclidienne à gauche et d'une partie non connexe à droite.
385
2. Plus généralement, nr muni de l'une des distances définies p. 354 est connexe.
De même, JR. n \ {O} est connexe pour la distance euclidienne.
Remarques
1. L'intersection de deux parties connexes n'est pas nécessairement connexe. On
montre que l'union de deux parties connexes dont l'intersection est non vide
est connexe. Si cette intersection est vide, l'union des deux parties connexes
peut être ou non connexe ; considérer successivement ) - oo, O[U[O, +oo[ et
J - oo, O[U[l , +oo[.
2. L'adhérence d'une partie connexe est connexe, mais son intérieur ne l'est pas
nécessairement.
3. Dans un espace vectoriel normé, les boules (ouvertes et fermées) sont connexes.
Attention, cette propriété n'est pas toujours vraie dans un espace métrique. o
Il existe une notion plus restrictive
(53) que la connexité : la connexité par arcs.
DÉFINITION 7.13 (Connexité par arcs)
Un espace métrique ( E, d) est dit connexe par arcs si pour tout (a, /3) E E 2
il existe une application continue <54l de [a, b] dans E telle que (a) = a et
efJ(b) = /3.
On appelle chemin dans un espace métrique (E, d) toute application continue
d'un intervalle [a, b] de lR. dans E. Un espace métrique (E, d) est donc connexe
par arcs si deux quelconques de ses points peuvent être joints par un chemin.
(53) On montre qu'un espace métrique connexe par arcs est un espace connexe.
(54) .
1.e. vérifiant: 'v'xo E [a, b] \le E IR+ 377 E IR+ \lx E [a, b] (lx - xol � 77 => d(