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Topologie dans un espace métrique
7.3.4 Espaces connexes
On appelle partition <51> d'un ensemble E toute famille { Ai}iEJ, indicée par un
sous-ensemble I de IR, de sous-ensembles Ai de E qui :
sont non vides : Vi E I Ai =f. 0 ;
- sont deux à deux disjointes : V(i,j) E 1 2 (i =f. j =>Ain Aj = 0);
- dont la réunion est l'ensemble E : LJ iEJ Ai = E.
DÉFINITION 7.12 (Connexité)
X Un espace métrique (E, d) est dit connexe s'il n'existe pas de partition de E
en deux ouverts non vides disjoints.
X Un sous-ensemble A de E est appelée partie connexe de (E, d) si A muni
de la distance induite par d est un espace métrique connexe.
Remarques
1. De manière équivalente, un espace métrique est connexe s'il n'existe pas de
partition de E en deux fermés non vides disjoints. On peut également caractériser un espace métrique connexe de la manière suivante : un espace métrique
(E, d) est connexe si les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés dans (E, d)
sont l'ensemble vide et E. Intuitivement, une partie est connexe si elle est
f � rmée « d'un seul morceau », voir la figure 8.
2. En topologie, le terme « domaine » désigne un sous-ensemble d'un espace
métrique qui est à la fois ouvert et connexe.
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Exemples
1. L'ensemble lR muni de la distance usuelle est connexe. Les parties connexes
de lR sont des intervalles. Pour le vérifier, raisonnons par l'absurde et supposons
qu'il existe un sous-ensemble X dans lR qui ne soit pas un intervalle et qui soit
connexe. Si X n'est pas un intervalle <5 2 >, il existe (a, b, c) E JR 3 tel que
a E X, b E X, a :::; ; c :::; ; b et c r: X.
Considérons les ensembles U =] - oo, c[ nX et V = J
e, +oo( nX; U et V sont
deux ouverts non vides (a E U et b E V) , disjoints et U UV =X. Par conséquent { U, V} forme une partition de X, ce qui contredit l'hypothèse que X est
connexe.
( sl ) Partitionner un ensemble E, c'est le « découper » en sous-ensembles disjoints. Par
exemple, si A est sous-ensemble non vide de E, {A, CEA} constitue une partition de E.
Une partition de IR est {[n, n + 1[ ; n E Z}.
<5 2 > On rappelle, voir la définition 3.9 p. 109 du Cours de première année, qu'un ensemble I
dans IR est un intervalle si \f(a, b, c) E R 3 (a E I et b E I et a:( c :( b =} c E I). Par
conséquent, un sous-ensemble I de IR n'est pas un intervalle si
3(a, b, c) E IR 3 (a E I et b E I et a:( c :( b et c