Espaces métriques et espaces vectoriels normés
383
4. L'intersection d'un nombre quelconque (fini ou infini) d'ensembles bornés et
borné. La réunion d'un nombre fini d'ensembles bornés est bornée. Attention, la
réunion d'un nombre infini d'ensembles bornés n'est pas nécessairement bornée.
Ainsi, dans 1R muni de la distance usuelle Un E N* [-1/n, 1/n] = [-1, 1] est borné
mais Un E N* [-n, n] = lR n'est pas borné.
<>
Exemples
1. Il résulte de la définition 7.11 que dans un espace métrique (E, d) , toute
boule fermée B(xo , r) est bornée. Il en est de même des boules ouvertes.
2. Dans lR muni de la distance usuelle, lR n'est pas borné car pour tout xo E lR et
pour tout r E IR"f-, le réel x = xo+2r est tel que d(x, xo) = lx-xo l = 2r > r. Par
contre, si on munit lR de la distance d: (x, y) E lR x lR f-+
1 arctan(x) - arctan(y)I
alors lR est borné car pour tout x E lR on a d(x, 0) =
1 arctan(x)I � �· Nous
avions établi p. 353 que ces deux distances sur lR n'étaient pas équivalentes.
3. Considérons l'ensemble B(I, IR) des applications bornées sur l'intervalle I
et munissons-le de la distance d00 : (f, g) E B(J, IR.) 2 f-+ sup xE / l f(x) - g(x)I .
L'ensemble des applications bornées sur I n'est pas borné pour d00 car pour
tout fo E B(J, IR) et pour tout r E IR"f_ la fonction f : x E If-+ 2r + fo(x)
appartient à B(I, IR) et vérifie
doo(fo , !) = sup l fo (x) - f(x) I = 2r > r.
xEI
Il n'y a pas de contradiction ; en considérant des applications de I dans lR
« bornées », on considère des applications pour lesquelles l'ensemble f(I) est
borné dans lR pour la distance usuelle, voir le Cours de première année p. 565.
Il résulte de la définition 7.11 que si A est un ensemble borné dans l'espace
métrique (E, d) alors A est borné dans l'espace métrique (E, 8) pour toute
distance 8 équivalente à la distance d. Mais un ensemble A peut être borné
dans l'espace métrique (E, d) et non borné dans l'espace métrique (E, 8) si
d et 8 sont deux distances qui ne sont pas équivalente, voir les exemples
précédents.
Puisque si deux distances sont équivalentes alors tout ensemble borné pour
l'une est également borné pour l'autre, on dispose d'un moyen d'établir que
deux distances ne sont pas équivalentes : il suffit de trouver un ensemble qui
soit borné pour l'une des distances et pas pour l'autre. Ainsi, nous avons établi
au cours de l'exercice 7.1 que l'application
d:(x, y) EIR 2 t--- --t ln (l +
lx
1
-yl 1 )
1 + x-y
définit une distance dans IR. Pour cette distance, lR est borné car car pour tout
x E lR on a d(x, 0) = ln ( 1 + 1fi�1) � 111(2). Cette distance n'est donc pas
équivalente à la distance usuelle de R
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4. L'intersection d'un nombre quelconque (fini ou infini) d'ensembles bornés et
borné. La réunion d'un nombre fini d'ensembles bornés est bornée. Attention, la
réunion d'un nombre infini d'ensembles bornés n'est pas nécessairement bornée.
Ainsi, dans 1R muni de la distance usuelle Un E N* [-1/n, 1/n] = [-1, 1] est borné
mais Un E N* [-n, n] = lR n'est pas borné.
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Exemples
1. Il résulte de la définition 7.11 que dans un espace métrique (E, d) , toute
boule fermée B(xo , r) est bornée. Il en est de même des boules ouvertes.
2. Dans lR muni de la distance usuelle, lR n'est pas borné car pour tout xo E lR et
pour tout r E IR"f-, le réel x = xo+2r est tel que d(x, xo) = lx-xo l = 2r > r. Par
contre, si on munit lR de la distance d: (x, y) E lR x lR f-+
1 arctan(x) - arctan(y)I
alors lR est borné car pour tout x E lR on a d(x, 0) =
1 arctan(x)I � �· Nous
avions établi p. 353 que ces deux distances sur lR n'étaient pas équivalentes.
3. Considérons l'ensemble B(I, IR) des applications bornées sur l'intervalle I
et munissons-le de la distance d00 : (f, g) E B(J, IR.) 2 f-+ sup xE / l f(x) - g(x)I .
L'ensemble des applications bornées sur I n'est pas borné pour d00 car pour
tout fo E B(J, IR) et pour tout r E IR"f_ la fonction f : x E If-+ 2r + fo(x)
appartient à B(I, IR) et vérifie
doo(fo , !) = sup l fo (x) - f(x) I = 2r > r.
xEI
Il n'y a pas de contradiction ; en considérant des applications de I dans lR
« bornées », on considère des applications pour lesquelles l'ensemble f(I) est
borné dans lR pour la distance usuelle, voir le Cours de première année p. 565.
Il résulte de la définition 7.11 que si A est un ensemble borné dans l'espace
métrique (E, d) alors A est borné dans l'espace métrique (E, 8) pour toute
distance 8 équivalente à la distance d. Mais un ensemble A peut être borné
dans l'espace métrique (E, d) et non borné dans l'espace métrique (E, 8) si
d et 8 sont deux distances qui ne sont pas équivalente, voir les exemples
précédents.
Puisque si deux distances sont équivalentes alors tout ensemble borné pour
l'une est également borné pour l'autre, on dispose d'un moyen d'établir que
deux distances ne sont pas équivalentes : il suffit de trouver un ensemble qui
soit borné pour l'une des distances et pas pour l'autre. Ainsi, nous avons établi
au cours de l'exercice 7.1 que l'application
d:(x, y) EIR 2 t--- --t ln (l +
lx
1
-yl 1 )
1 + x-y
définit une distance dans IR. Pour cette distance, lR est borné car car pour tout
x E lR on a d(x, 0) = ln ( 1 + 1fi�1) � 111(2). Cette distance n'est donc pas
équivalente à la distance usuelle de R