Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Fig. 4 Dans C0([a, b] , �), représentation de la boule de centre f
et de rayon r.
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1 On sera attentif à ne pas confondre au niveau des notations la boule fermée
de centre xo et de rayon r notée B(xo, r) et le complémentaire dans Ede la
boule ouverte de centre xo et de rayon r que nous noterons CEB(xo, r) ou
CB(xo, r) quand il n'y aura pas de confusion possible sur l'ensemble E.
DÉFINITION 7.6 (Voisinage d'un point)
Soient (E, d) un espace métrique et xo un élément de E. On dit que le sousensemble A de E est un voisinage de xo dans E si A contient une boule
ouverte de centre x 0 , i. e. si
3r E JR+ B(xo, r) c A.
On note V(xo) l'ensemble des voisinages de xo dans E.
Remarques
1. L'intersection et la réunion de deux voisinages de l'élément x 0 sont aussi des
voisinages de xo.
2. Toute boule (ouverte ou fermée) de centre xo est un voisinage de xo.
3. L'ensemble E est voisinage de tous ses éléments.
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DÉFINITION 7.7 (Ensemble ouvert et ensemble fe rmé)
X Soit (E, d) un espace métrique. Un sous-ensemble non vide A de E est
qualifié d'ensemble ouvert si pour tout élément x de A il existe une boule
ouverte de centre x contenue dans A, i. e. si
'v'x E A 3r E JR+ B(x,r) c A.
X Un sous-ensemble A de E est appelé ensemble fermé si son complémentaire
dans E est un ensemble ouvert.