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Topologie dans un espace métrique
Remarques
1. Il résulte de la définition 7.6 qu'un ensemble est ouvert s'il est un voisinage
de chacun des ses points.
2. Par convention, l'ensemble vide est un ouvert de E. Son complémentaire qui
est l'ensemble E est donc un fermé. Nous avons mentionné que l'ensemble E est
voisinage de chacun de ses points ; c'est donc aussi un ouvert. Le complémentaire de l'ensemble E qui est l'ensemble vide est donc un fermé. On retiendra
que l'ensemble vide et l'ensemble E sont à la fois des ouverts et des fermés.
3. Si (A, d) est un sous-espace métrique de (E, d) alors les ensembles ouverts
dans A sont les intersections de A avec les ouverts de E.
o
Exemples
1. Soit (E, dE) est un espace métrique et x 0 un élément de E. Le singleton
{x 0 } est un sous-ensemble fermé de E. En effet, son complémentaire qui est
l'ensemble A = {x E E ; x =J xo} est ouvert puisque pour tout x E A la boule
de centre x et de rayon r = �dE(x, xo) > 0 ne contient pas xo donc est incluse
dans A.
{ 1 Si X= y
2. Munissons l'ensemble Ed e la distance d: (x, y) E E i--+ 0 .
smon
appelée distance discrète. Pour tout xo E E on a B ( xo, �) = { xo} donc pour
cette distance le singleton { xo} est un sous-ensemble ouvert de E (il est donc
à la fois ouvert et fermé dans E compte tenu de ce qui a été établi à l'exemple
précédent).
3. Soit (E, dE) est un espace métrique et D = {(y1, y 2 ) E E 2 ; Yi = y 2 }.
Dans E2 muni de la distance produit (3 7 >
l'ensemble D est fermé. Pour le montrer, établissons que le complémentaire
de D est un ensemble ouvert. Il s'agit de montrer que si y = (y1, Y 2 ) désigne un
élément quelconque de CD alors il existe un réel a > 0 tel que la boule B(y, a)
soit incluse dans CD. Notons f3 = dE(y1 , y 2 ) (qui est strictement positif car
Y1 =J Y 2 puisque y E CD) et montrons que pour a = �{3 on a B(y, a) C CD.
Considérons un élément quelconque z = (z1 , z 2 ) de B(y, a) et montrons que
z E CD, i.e. que z1 =J z 2 . On a d1(y,z) = dE(Y1 , z1) + dE(Y 2 ,z 2 ) < � ,B et par
l'inégalité triangulaire
On en déduit que
dE(z1,z 2 ) ;;::: dE(Y1 , Y2) - (dE(yi , z i ) + dE( Z2 , y 2 )) > ,B - � ,B = � ,B.
= d i (y,z)
(3 7 ) Les différentes distances produits données p. 356 sont équivalentes ; le choix fait ici facilite
grandement le raisonnement.
Topologie dans un espace métrique
Remarques
1. Il résulte de la définition 7.6 qu'un ensemble est ouvert s'il est un voisinage
de chacun des ses points.
2. Par convention, l'ensemble vide est un ouvert de E. Son complémentaire qui
est l'ensemble E est donc un fermé. Nous avons mentionné que l'ensemble E est
voisinage de chacun de ses points ; c'est donc aussi un ouvert. Le complémentaire de l'ensemble E qui est l'ensemble vide est donc un fermé. On retiendra
que l'ensemble vide et l'ensemble E sont à la fois des ouverts et des fermés.
3. Si (A, d) est un sous-espace métrique de (E, d) alors les ensembles ouverts
dans A sont les intersections de A avec les ouverts de E.
o
Exemples
1. Soit (E, dE) est un espace métrique et x 0 un élément de E. Le singleton
{x 0 } est un sous-ensemble fermé de E. En effet, son complémentaire qui est
l'ensemble A = {x E E ; x =J xo} est ouvert puisque pour tout x E A la boule
de centre x et de rayon r = �dE(x, xo) > 0 ne contient pas xo donc est incluse
dans A.
{ 1 Si X= y
2. Munissons l'ensemble Ed e la distance d: (x, y) E E i--+ 0 .
smon
appelée distance discrète. Pour tout xo E E on a B ( xo, �) = { xo} donc pour
cette distance le singleton { xo} est un sous-ensemble ouvert de E (il est donc
à la fois ouvert et fermé dans E compte tenu de ce qui a été établi à l'exemple
précédent).
3. Soit (E, dE) est un espace métrique et D = {(y1, y 2 ) E E 2 ; Yi = y 2 }.
Dans E2 muni de la distance produit (3 7 >
l'ensemble D est fermé. Pour le montrer, établissons que le complémentaire
de D est un ensemble ouvert. Il s'agit de montrer que si y = (y1, Y 2 ) désigne un
élément quelconque de CD alors il existe un réel a > 0 tel que la boule B(y, a)
soit incluse dans CD. Notons f3 = dE(y1 , y 2 ) (qui est strictement positif car
Y1 =J Y 2 puisque y E CD) et montrons que pour a = �{3 on a B(y, a) C CD.
Considérons un élément quelconque z = (z1 , z 2 ) de B(y, a) et montrons que
z E CD, i.e. que z1 =J z 2 . On a d1(y,z) = dE(Y1 , z1) + dE(Y 2 ,z 2 ) < � ,B et par
l'inégalité triangulaire
On en déduit que
dE(z1,z 2 ) ;;::: dE(Y1 , Y2) - (dE(yi , z i ) + dE( Z2 , y 2 )) > ,B - � ,B = � ,B.
= d i (y,z)
(3 7 ) Les différentes distances produits données p. 356 sont équivalentes ; le choix fait ici facilite
grandement le raisonnement.