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Topologie dans un espace métrique
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Fig. 3 Boules unités dans JR 2 et dans R3 pour les distances di ,
d 2 et doo .
dans JR2 on a
Bd 2 (0, 1) = { (x1, x 2 ) E 1R 2 ; (xi + x�) ! < 1} = { (x1, x 2 ) E 1R 2 ; xi + x� < 1}.
La boule unité pour la distance euclidienne dans JR 2 est donc le disque de centre
l'origine et de rayon 1. Dans JR 3 , la boule unité pour la distance euclidienne est
la « boule » de centre l'origine et de rayon 1. On a par ailleurs,
Bd00 (0, 1) = { (x1, X 2 ) E 1R 2 ; max(Jx1 J, Jx 2 /) < 1}
= {(x1, x 2 ) E JR 2 ; -1 La boule unité pour la distance d00 dans JR 2 est donc le carré ]-1, l [x] -1, l [.
Dans JR 3 , la boule unité pour la distance euclidienne est le cube ] -1, 1 [ 3 . Enfin,
on pourra vérifier que la boule unité pour la distance d1 dans JR 2 est un losange
et que dans JR 3 il s'agit d'un octaèdre.
Signalons que dans lR la boule ouverte (resp. fermée) de centre x0 et de rayon r
pour ces trois distances est l'intervalle ouvert ]x 0 - r, xo + r[ (resp. fermé
lxo - r, xo + r]).
2. Dans c 0 ([a, b] , JR) muni de la distance
d oo : (!, g) E c 0 ([a, b] , JR) X c 0 ([a, b] , JR) r--- -- -- -t sup l f(x) - g(x)I ,
x E[a,b]
la boule ouverte de centre f E C 0 ([a, b] , JR) et de rayon r E lRf- correspond à
l'ensemble des fonctions continues sur [a, bJ dont la représentation graphique se
trouve dans le domaine du plan limité par les représentations des applications
f - : x E [a, b] i-t f(x) - r et !+ : x E !a, b] i-t f(x) + r, voir la figure 4.