Espaces métriques et espaces vectoriels normés
7.3 Topologie dans un espace métrique
369
Nous allons étendre au cas d'un espace métrique (E, d) quelconque un certain
nombre de notions de topologie
<35l qui ont été introduites dans le Cours de
première année dans le cas de la droite réelle
<36l puis dans le chap. 4 de cet ouvrage dans le cas du plan complexe. Toutes les notions topologiques introduites
dans cette partie restent bien entendu valables dans le cas d'un espace vectoriel
normé (E, N) en considérant sur Ela distance d subordonnée à la norme N :
d: (x, y) E E � N(y - x) .
7.3.1 Ensembles ouverts et ensembles fe rmés
DÉFINITION 7.5 Soient (E, d) un espace métrique, xo un élément de E et r
un réel strictement positif.
X On appelle boule ouverte de centre xo et de rayon r l'ensemble
Bd(xo ,r) = {x E E; d(x, xo) < r} .
X On appelle boule fermée de centre xo et de rayon r l'ensemble
Bd(xo,r) = {x E E; d(x, xo) ::( r} .
Remarques
1. La notion de boule est étroitement liée à la distance d dont est muni l'ensemble E. Si ô est une autre distance sur E, les ensembles Bd(xo, r) et B0 (xo , r)
sont distincts (même si les distances sont équivalentes) . Lorsqu'aucune confusion n'est à craindre concernant la distance utilisée, nous noterons plus simplement B(xo, r) la boule ouverte de centre xo et de rayon r.
2. Dans le cas où l'espace métrique (E, d) est l'ensemble des complexes muni
de la distance subordonnée au module, i.e. d : (z, z
'
) E C 2 !-+ lz - z
'
I , la définition 7.5 correspond à la définition 4.1 p. 164. Plus généralement, on pourra
relier les définitions données dans cette partie aux notions concernant la topologie du plan complexe étudiées au chap. 4.
o
Exemples
1. La figure 3 donne les représentations graphiques des boules unités (i.e. les
boules de centre l'origine du repère et de rayon r = 1) dans JR. 2 et dans JR. 3
associées aux distances di, d 2 et d00 définies à la proposition 7.2. Par exemple,
<35l L
1 ·
. 'fi
.
d'
d l'
L'
. .
d 1
e terme « topo og1e » a pour s1gm cation en grec : 1scours u 1eu. ongme e a
topologie est liée aux problèmes qu'ont posés la généralisation de l'étude des propriétés
de continuité et de dérivabilité pour les fonctions de plusieurs variables.
<36) Voir la section 3 .3 p. 109 du Cours de première année.
7.3 Topologie dans un espace métrique
369
Nous allons étendre au cas d'un espace métrique (E, d) quelconque un certain
nombre de notions de topologie
<35l qui ont été introduites dans le Cours de
première année dans le cas de la droite réelle
<36l puis dans le chap. 4 de cet ouvrage dans le cas du plan complexe. Toutes les notions topologiques introduites
dans cette partie restent bien entendu valables dans le cas d'un espace vectoriel
normé (E, N) en considérant sur Ela distance d subordonnée à la norme N :
d: (x, y) E E � N(y - x) .
7.3.1 Ensembles ouverts et ensembles fe rmés
DÉFINITION 7.5 Soient (E, d) un espace métrique, xo un élément de E et r
un réel strictement positif.
X On appelle boule ouverte de centre xo et de rayon r l'ensemble
Bd(xo ,r) = {x E E; d(x, xo) < r} .
X On appelle boule fermée de centre xo et de rayon r l'ensemble
Bd(xo,r) = {x E E; d(x, xo) ::( r} .
Remarques
1. La notion de boule est étroitement liée à la distance d dont est muni l'ensemble E. Si ô est une autre distance sur E, les ensembles Bd(xo, r) et B0 (xo , r)
sont distincts (même si les distances sont équivalentes) . Lorsqu'aucune confusion n'est à craindre concernant la distance utilisée, nous noterons plus simplement B(xo, r) la boule ouverte de centre xo et de rayon r.
2. Dans le cas où l'espace métrique (E, d) est l'ensemble des complexes muni
de la distance subordonnée au module, i.e. d : (z, z
'
) E C 2 !-+ lz - z
'
I , la définition 7.5 correspond à la définition 4.1 p. 164. Plus généralement, on pourra
relier les définitions données dans cette partie aux notions concernant la topologie du plan complexe étudiées au chap. 4.
o
Exemples
1. La figure 3 donne les représentations graphiques des boules unités (i.e. les
boules de centre l'origine du repère et de rayon r = 1) dans JR. 2 et dans JR. 3
associées aux distances di, d 2 et d00 définies à la proposition 7.2. Par exemple,
<35l L
1 ·
. 'fi
.
d'
d l'
L'
. .
d 1
e terme « topo og1e » a pour s1gm cation en grec : 1scours u 1eu. ongme e a
topologie est liée aux problèmes qu'ont posés la généralisation de l'étude des propriétés
de continuité et de dérivabilité pour les fonctions de plusieurs variables.
<36) Voir la section 3 .3 p. 109 du Cours de première année.