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Normes et espaces vectoriels normés
1 Sur un espace vectoriel qui n'est pas de dimension finie, cette propriété
n'est pas vraie. Certaines normes peuvent être équivalentes, mais toutes les
normes ne sont pas équivalentes deux à deux. Nous avons par exemple vu
p. 360 que sur l'espace vectoriel OC[X] les normes N1 et N00 n'étaient pas
équivalentes.
COROLLAIRE 7.1 Soient E un espace vectoriel sur ][{ de dimension n et
B = ( e1, ... , en) une base de E. To ute norme sur E est équivalente à la
norme infinie définie pour tout vecteur x de E de composantes (x1 , . . . , Xn )
dans la base B par llxll oo = max 1�i�n lxil
Terminons cette partie consacrée aux espaces vectoriels normés en donnant les
normes usuelles sur l'espace vectoriel C0([a, b] , JR) des applications continues de
[a, b] dans R
PROPOSITION 7.6 (Normes usuelles sur c0([a, b] , JR))
Les applications suivantes sont des normes sur l'espace vectoriel C0([a, b] , JR)
des applications continues de [a, b] dans lR :
N1 : f E C0 ([a, b] , JR) .__, l
b
lf(x)I dx,
N 2 : f E C0([a, b] , JR) .__, l
b
lf(x)j 2 dx
Noo. : f E C0 ([a, b] , JR) .__, sup lf(x)j .
x E[a , b]
L'application N1 est appelée norme de la convergence en moyenne, N 2 norme
de la convergence quadratique et N00 norme de la convergence uniforme.
Démonstration Il résulte des propriétés de la borne supérieure (voir la proposition 2.1 p. 68) que l'application N00 est une norme. La vérification du fait
que Ni et N 2 sont des normes est laissée en exercice ; on pourra s'inspirer des
exemples de la p. 348.
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Remarque L'application N oo : f E B([a, b] , JR) f--> sup x E[a,b] lf(x)I définit aussi
une norme sur l'ensemble B([a, b], JR) des applications bornées de [a, b] dans R
Par contre, une application bornée n'étant pas nécessairement intégrable, les
fonctions Ni et N 2 ne sont pas des normes sur B([a, b] , JR).
o