Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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THÉORÈME 7.1 To utes les normes sur oc n (n EN*) sont équivalentes.
Sur oc n , toutes les normes sont équivalentes mais toutes les distances ne le
sont pas. Par exemple, sur JR2 la distance euclidienne d 2 n'est pas équivalente
' l d' t
(3 4 ) d d'fi .
a a is ance
e me par :
d(x, y) = d 2 (x, y) si x, y et l'origine sont alignés
d(x, y) = d 2 (x, 0) + d(O, y) sinon.
On a d 2 � d mais pour tout réel strictement positif C les éléments x = ( C, 0)
et y= (C, 1) vérifient : d 2 (x,y) = 1 et d(x, y) = C + vl + C 2 . On a donc
d(x, y) > C d 2 (x, y).
On peut toutefois déduire du théorème 7.1 que sur oc n , toutes les distances
subordonnées à des normes sont équivalentes.
Plus généralement, on a le résultat suivant qui est un corollaire du théorème 7.1.
THÉORÈME 7.2 Sur un OC-espace vectoriel de dimension finie, toutes les
normes sont équivalentes deux à deux.
Démonstration Soit E un OC-espace vectoriel de dimension n dont la base
canonique est notée (e1 , ... , e n)· Considérons l'isomorphisme canonique :
A deux normes Ni et N 2 sur E, on peut associer les applications
Ili : (xi, ... , Xn) E oc n !--- --+ Ni ( et 11 2 : (xi, ... ,xn) E oc n
i--- --+ N 2 ( qui sont des normes sur oc n . D'après le théorème 7.1, elles sont équivalentes :
il existe donc Ci , C 2 E JR + tels que pour tout (xi, ... , Xn) E oc n
autrement dit tels que,
On en conclut que pour tout x E E, on a Ci Ni (x) � N 2 (x) � C 2 Ni (x); les
deux normes Ni et N 2 sont donc équivalentes.
D
<3 4 ) Cette distance est assimilable à la « distance SNCF » entre gares, le terme « aligné »
signifiant dans ce cas « sur la même ligne ferroviaire ».
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THÉORÈME 7.1 To utes les normes sur oc n (n EN*) sont équivalentes.
Sur oc n , toutes les normes sont équivalentes mais toutes les distances ne le
sont pas. Par exemple, sur JR2 la distance euclidienne d 2 n'est pas équivalente
' l d' t
(3 4 ) d d'fi .
a a is ance
e me par :
d(x, y) = d 2 (x, y) si x, y et l'origine sont alignés
d(x, y) = d 2 (x, 0) + d(O, y) sinon.
On a d 2 � d mais pour tout réel strictement positif C les éléments x = ( C, 0)
et y= (C, 1) vérifient : d 2 (x,y) = 1 et d(x, y) = C + vl + C 2 . On a donc
d(x, y) > C d 2 (x, y).
On peut toutefois déduire du théorème 7.1 que sur oc n , toutes les distances
subordonnées à des normes sont équivalentes.
Plus généralement, on a le résultat suivant qui est un corollaire du théorème 7.1.
THÉORÈME 7.2 Sur un OC-espace vectoriel de dimension finie, toutes les
normes sont équivalentes deux à deux.
Démonstration Soit E un OC-espace vectoriel de dimension n dont la base
canonique est notée (e1 , ... , e n)· Considérons l'isomorphisme canonique :
A deux normes Ni et N 2 sur E, on peut associer les applications
Ili : (xi, ... , Xn) E oc n !--- --+ Ni ( et 11 2 : (xi, ... ,xn) E oc n
i--- --+ N 2 ( qui sont des normes sur oc n . D'après le théorème 7.1, elles sont équivalentes :
il existe donc Ci , C 2 E JR + tels que pour tout (xi, ... , Xn) E oc n
autrement dit tels que,
On en conclut que pour tout x E E, on a Ci Ni (x) � N 2 (x) � C 2 Ni (x); les
deux normes Ni et N 2 sont donc équivalentes.
D
<3 4 ) Cette distance est assimilable à la « distance SNCF » entre gares, le terme « aligné »
signifiant dans ce cas « sur la même ligne ferroviaire ».