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Normes et espaces vectoriels normés
Exercice 7.8
1 - Montrer que les applications Ni et N00 définies à la proposition 7.5 sont
des normes sur M m ,n(OC).
2 - Montrer, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz <33> , que si
A = (% )i,j et B = (bij )i,j sont deux matrices de Mn (OC) alors
On sera attentif au fait que cette relation portant sur la norme du produit
n'est pas une propriété que possèdent toutes les normes.
Nous avons utilisé au cours de la démonstration de la proposition 7.5 l'isomorphisme entre M m , n( OC) et oc mn pour relier la norme de Schur sur M m ,n(OC) à
la norme euclidienne sur oc mn . Indiquons quelques liens supplémentaires entre
normes sur l'ensemble des matrices et normes sur l'ensemble des vecteurs.
X Si on identifie le vecteur x de oc n au vecteur colonne X E Mn, 1 (OC) alors
llxll00 = N00 (X) où N00 désigne la norme infinie dans M n,1( 0C) et
llxll oo = maxi E{l , ... ,n} lxi l désigne la norme infinie de x.
X Par ailleurs, p()Ur tout A E M n (OC) et pour tout X E oc n on a
n
n
llAxll oo = . max IL:aijXjl �. max L laijl lxjl
iE{l , ... , m} . 1
iE{l , ... , m} .
J=
J=l
n
� llxll oo . max L 1% 1 = llxll oo N oo (A),
iE{l , ... , m} .
J=l
où N00 (A) désigne ici la norme infinie de A dans Mn(OC).
X On appelle rayon spectral de la matrice A E M n (C) et on note p(A) le réel
positif égal au module des valeurs propres de A le plus grand, i. e.
p(A) = max{ IÀI ; 3x E e n
X =I 0 et Ax = Àx} .
En notant Àt une valeur propre de A telle que p(A) = IÀ1 1 et x1 un vecteur
propre associé, on obtient
On en déduit que p(A) = IÀ1 1 � N oo (A). Le rayon spectral d'une matrice est
donc toujours inférieur à la norme infinie de cette matrice.
Donnons à présent un résultat indiquant que sur JR. n et sur e n ( n E N*), toutes
le normes sont équivalentes deux à deux. Sa démonstration, qui utilise la notion
de suite de Cauchy, sera donnée ultérieurement (voir p. 406).
<33> voir la proposition 3.6 p. 101 du Courn de pi·emière année.