Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Un autre espace vectoriel de dimension finie qui est très souvent utilisé est celui
des matrices. La proposition suivantes précise les normes usuelles sur Mm,n(K).
PROPOSITION 7.5 (Normes usuelles sur Mm,n(K))
Pour tous entiers naturels m , n non nuls, les applications suivantes définissent
des normes sur Mm,n (OC) :
Ns: A E Mm,n(K)
Noo : A E Mm,n(K)
Démonstration La vérification que N1 et N00 sont des normes fait l'objet de
l'exercice 7.8. Montrons que N5 est une norme sur Mm,n(K). Elle est appelée
norme de Schur c3 ii . Plutôt que de vérifier les 4 conditions de la définition 7.3,
on peut avoir à nouveau recours à la proposition 7.4. La base canonique c32 l de
l'espace vectoriel Mm,n(K) des matrices à m lignes et n colonnes est formée
par l'ensemble des matrices Eij pour i E {1, ... , m } et j E {1, ... , n} où Eij
désigne la matrice dont tous les termes sont nuls à l'exception du terme placé à
la i - ième ligne et à la j-ième colonne. Pour toute matrice A= (aij )i�i�m,l�j�n
de Mm,n(K) on a
m n
A = L :�.::> ij . Eij .
i=l j =l
On peut réécrire l'application Ns sous la forme
où N 2 désigne la norme euclidienne de oc mn . Comme l'application qui à une matrice de Mm, n(K) associe ses composantes dans la base canonique de Mm,n(K)
est un isomorphisme, on en conclut que N8 est une norme sur Mm,n(K). 0
( 31) Issai ScttuR (1875-1941)
( 32) Voir le Cours de premièrn année p. 398.