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Normes et espaces vectoriels normés
composantes (xi, ... ' Xn ) dans la base B est un isomorphisme '(30) de E dans oc n .
Cela implique que si N désigne une norme sur oc n , l'application
est une norme sur E.
Exemple L'espace vectoriel 1K n [X] des polynômes à coefficients dans lK de
degré inférieur ou égal à n est un espace vectoriel de dimension n + 1. Dans la
base canonique {011qx ] , X, ... , x n } de 1K n [X], un polynôme P de 1K n [X] s'écrit
P = l:� =D a k X k où ao, ... , an désignent les coefficients de P. Les applications
suivantes sont donc des normes sur 1K n [X] :
N00 : P E 1K n [X] 1---+ max ia kl ,
kE{O,. . ., n}
n
Ni : P E 1K n [Xj 1---+ L l a kl ,
k=O
n
N 2 : P E 1K n [Xj 1---+ 2: 1 a kl 2 ·
k=O
Ces normes sont équivalentes puisque d'après la proposition 7.4 on a pour tout
P E 1K n [X],
Ces trois applications définissent également des normes sur l'espace vectoriel
JK[X] des polynômes à coefficients dans lK mais qu'elles ne sont pas équivalentes
sur JK[X], voir p. 360.
Par ailleurs, on déduit également de la proposition 7.4 que si (Ei , Ni ) , ... , (Ep, Np)
sont des espaces vectoriels normés alors les applications suivantes sont des
normes sur le produit cartésien E = Ei x · · · x Ep :
vo :(xi, ... ,xp) EE i---+ max(Ni (xi), ... ,Np(xp)),
vi : (xi, ... ,xp) E E i---+ Ni (x1) + · · · + Np (xp),
v 2 : (xi, ... , X p) E E i---+ J Ni (xi)2 + · · · + Np(xp)2•
De plus, ces trois normes sont équivalentes sur E : pour tout (xi, ... , xp) E E
on a:
<30> Autrement dit, une application linéaire bijective ; voir la proposition 8.9 p. 324 du Cours
de première année pour une justification.