Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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12: La vérification du fait que Ni et N00 sont des normes sur oc n est laissée en
exercice.
12: Montrons que les trois normes Ni , N2 et N 00 sont équivalentes. La relation
N00 (x) � Ni (x) est évidente car Ni (x) est égal à la somme de N00 (x) (le plus
grand des réels positifs /xi/ lorsque i varie dans { 1, ... , n}) et de réels positifs
(les autres /xi/). Par ailleurs, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz <29> on
obtient :
On a donc Ni (x) � ..fii, N2 (x) .
Enfin, N00 (x) est le plus grand des réels positifs /xi/ lorsque i varie dans
{l, ... ,n} donc la somme I:� = i /xi/ 2 est constituée de n termes tous inférieurs
ou égaux à N00 (x) 2 . On en déduit que
n
n
N2 (x) = . L /xi / 2 � . L N00 (x) 2 = Jn N00 (x) 2
= Vn N00 (x) .
i= i
i=i
On en conclut que : N00 (x) � Ni (x) � ..fii, N2 (x) � nN00(x).
Remarques
D
1. Les distances usuelles sur JR. n définies à la proposition 7.2 sont les distances
subordonnées aux normes définies à la proposition 7.4.
2. On peut montrer que pour tout réel p E [l, +oo[ l'application
est une norme sur oc n .
0
Exercice 7. 7 Soit / / · / / une norme sur oc n et A une matrice non nulle de
M n(lK).
1 - Montrer que l'application N : X E oc n f-t //A xi/ est une semi-norme
sur oc n .
2 - Quelle propriété doit vérifier A pour que N soit une norme ?
Les normes sur oc n peuvent être utilisées pour définir des normes sur n'importe
quel OC-espace vectoriel E de dimension n. Considérons une base
B = ( ei' ... 'e n ) de E; l'application qui à tout élément X de E associe ses