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Normes et espaces vectoriels normés
tions de plusieurs variables réelles et nous aurons recours aux normes sur !R n .
La proposition suivante indique les normes les plus utilisées sur !R n et e n ; 1 · 1
désigne la valeur absolue ou le module selon que ][( = IR ou ][( = C. Étant
donné Un élément X de l'espace vectoriel ][( n , On désigne par (x 1 , ... , Xn) ses
composantes.
PROPOSITION 7.4 (Normes usuelles sur ][( n )
Pour tout n E .N*, les applications suivantes définissent des normes sur oc n :
max lxi l ,
iE {l,. . .,n}
n
Ni : XE oc n 1--- -> L l x i l ,
i=l
n
N 2 : XE oc n 1--- -> \ L l x i12 .
i=l
Ces normes sont équivalentes deux à deux et pour tout x E oc n on a :
Démonstration !'.'.: Montrons que N 2 définit une norme sur oc n . Elle est appelée la norme euclidienne.
1. Soit X E oc n tel que N 2 (x) = o. Le réel N 2 (x)2 = L� =l lxi l2 est une
somme de carrés qui vaut O. Chacun des termes de la somme est donc
nul, autrement dit, pour i E { 1, ... , n } on a Xi = O. On en déduit que
x = O. Inversement, si x = 0 alors pour tout i E {1, ... , n} on a Xi = 0 et
1
N 2 (x) = (l:: � =l lxi l2)
2
= O.
2. Soient X E oc n et À E ][( ; on a
n
n
n
N 2 (Àx)2 = L l>- x i l 2 = L l>.l 2 lxi l 2 = l>-1 2 L l x i l 2 = l>-1 2 N 2 (x)2.
i=l
i=l
i=l
On en déduit que N 2 (Àx) = l>-1 N 2 (x).
3. Soient X et y deux éléments de oc n ; montrer que N 2 (x+y) :::; ; N 2 (x)+N 2 (Y)
revient à montrer que N 2 (x +y)2 :::; ; N 2 (x)2 + N 2 (y)2 +2N 2 (x)N 2 (y). On a
n
n
n
n
N 2 (x + y)2 = L lxi + Yi l 2 = Llxi l 2 + L 1Yi l 2 + 2 L (lx i l x IYi l),
i=l
i=l
i=l
i=l
et d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz c29 >
1
1
t(l x i l x IYi l ) :::; ; (t lxil 2 ) 2 x (t 1Yi l 2 )
2
= N 2 (x) x N 2 (y).
( 29 )" • 1
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