Espaces métriques et espaces vectoriels normés
361
Considérons pour n E N, le polynôme Pn = l:� = o X k ; on a N= (Pn ) = 1 et
N1 (Pn ) = n + 1. Quel que soit le réel strictement positif C, en prenant pour n la
partie entière de C, on obtient N1 (Pn) = n + 1=E(C) +1 > C = C N= (Pn )·
On en déduit que l'assertion « VC E IR.'.f. 3P E OC[X] N1 (P) > C N= (P) »
est vraie, ce qui établit la non-équivalence des normes.
Remarque Nous établirons ultérieurement que sur un espace vectoriel de
dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
<>
PROPOSITION 7 .3 (Distance subordonnée à une norme)
Si (E, N) est un espace vectoriel normé, l'application
d : (x, y) E E 2
1--4 N(x - y) E JR. +
définit une distance sur E appelée distance subordonnée à la norme N.
Démonstration Il s'agit de montrer que l'application d vérifie les quatre
conditions de la définition 7.1. Les deux premières conditions de la définition 7.3
impliquent que l'application d vérifie pour tout (x, y) E E 2 ,
1. d(x, y)= N(x - y) ;? 0;
2. d(x, y) = 0 � N(x - y) = 0 � x - y = 0 � x = y.
En utilisant la troisième condition avec À= - 1, on obtient :
d(y, x) = N(y - x) = N(- (x - y)) = 1 - l i N(x - y)= N(x - y) = d(x, y).
Enfin, en utilisant la quatrième condition de la définition 7.3, on établit que
pour tout (x, y, z) E E3 on a:
d(x, y) = N(x-y) = N(x- z + z - y) � N(x-z)+N(z - y) = d(x, z)+d(z , y).
L'application d satisfaisant aux conditions de la définition 7.1, il s'agit bien
d'une distance.
D
Remarque Sur un espace vectoriel E, deux normes N1 et N 2 sont équivalentes
si et seulement si les deux distances qui leur sont subordonnées sont équivalentes. Ceci résulte du fait que si d est la distance subordonnée à la norme N
alors pour tout (x, y) E E 2 on a d(x, y) = N(x - y) et N(x) = d(x, OE)· <>
Sur un espace vectoriel, il peut exister des distances qui ne sont pas subordonnées à une norme. C'est le cas, par exemple, sur lR. de la distance
d: (x, y) E IR. 2 1-+ 1 arctan(x) - arctan(y)I . En effet, s'il existait une norme N
sur lR. telle que d lui soit subordonnée, on aurait pour tous réels x, y la relation N(x - y) = 1 arctan(x) - arctan(y)I . En particulier, pour x = 2 et y = 0
on obtiendrait N(2) = arctan(2). Si N est une norme, la seconde relation
de la définition 7.3 implique que N(2) = 2N(l) = 2 arctan(l) = 2 x � = �On aurait alors arctan(2) = �' ce qui est absurde puisque la fonction arctangente est à valeurs dans J - � , � [.
Dans la suite du cours nous serons amenés à considérer les propriétés des fonc-
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Considérons pour n E N, le polynôme Pn = l:� = o X k ; on a N= (Pn ) = 1 et
N1 (Pn ) = n + 1. Quel que soit le réel strictement positif C, en prenant pour n la
partie entière de C, on obtient N1 (Pn) = n + 1=E(C) +1 > C = C N= (Pn )·
On en déduit que l'assertion « VC E IR.'.f. 3P E OC[X] N1 (P) > C N= (P) »
est vraie, ce qui établit la non-équivalence des normes.
Remarque Nous établirons ultérieurement que sur un espace vectoriel de
dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
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PROPOSITION 7 .3 (Distance subordonnée à une norme)
Si (E, N) est un espace vectoriel normé, l'application
d : (x, y) E E 2
1--4 N(x - y) E JR. +
définit une distance sur E appelée distance subordonnée à la norme N.
Démonstration Il s'agit de montrer que l'application d vérifie les quatre
conditions de la définition 7.1. Les deux premières conditions de la définition 7.3
impliquent que l'application d vérifie pour tout (x, y) E E 2 ,
1. d(x, y)= N(x - y) ;? 0;
2. d(x, y) = 0 � N(x - y) = 0 � x - y = 0 � x = y.
En utilisant la troisième condition avec À= - 1, on obtient :
d(y, x) = N(y - x) = N(- (x - y)) = 1 - l i N(x - y)= N(x - y) = d(x, y).
Enfin, en utilisant la quatrième condition de la définition 7.3, on établit que
pour tout (x, y, z) E E3 on a:
d(x, y) = N(x-y) = N(x- z + z - y) � N(x-z)+N(z - y) = d(x, z)+d(z , y).
L'application d satisfaisant aux conditions de la définition 7.1, il s'agit bien
d'une distance.
D
Remarque Sur un espace vectoriel E, deux normes N1 et N 2 sont équivalentes
si et seulement si les deux distances qui leur sont subordonnées sont équivalentes. Ceci résulte du fait que si d est la distance subordonnée à la norme N
alors pour tout (x, y) E E 2 on a d(x, y) = N(x - y) et N(x) = d(x, OE)· <>
Sur un espace vectoriel, il peut exister des distances qui ne sont pas subordonnées à une norme. C'est le cas, par exemple, sur lR. de la distance
d: (x, y) E IR. 2 1-+ 1 arctan(x) - arctan(y)I . En effet, s'il existait une norme N
sur lR. telle que d lui soit subordonnée, on aurait pour tous réels x, y la relation N(x - y) = 1 arctan(x) - arctan(y)I . En particulier, pour x = 2 et y = 0
on obtiendrait N(2) = arctan(2). Si N est une norme, la seconde relation
de la définition 7.3 implique que N(2) = 2N(l) = 2 arctan(l) = 2 x � = �On aurait alors arctan(2) = �' ce qui est absurde puisque la fonction arctangente est à valeurs dans J - � , � [.
Dans la suite du cours nous serons amenés à considérer les propriétés des fonc-