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Normes et espaces vectoriels normés
On pourra vérifier que l'application Noo : L n Un E c i (JK) � sup nE N lun l est
aussi une norme sur c i (JK).
DÉFINITION 7.4 (Normes équivalentes)
Deux normes Ni et N 2 sur un méme espace vectoriel E sont dites équivalentes
s'il existe deux réels strictement positifs C1 et C 2 tels que :
Vx EE
Remarque Pour montrer que deux normes N1 et N 2 sur un espace vectoriel E
ne sont pas équivalentes, il faut montrer que (c'est la négation de l'assertion
quantifiée de la définition 7.4)
ou
3x E E N 2 (x) < Ci N1 (x)
3x E E N 2 (x) > C 2 Ni (x).
Signalons que dans le cas où deux normes ne sont pas équivalentes, il arrive
souvent que l'une des deux inégalités intervenant dans la définition 7.4 soit tout
de même vraie. Dans une telle situation, pour montrer que les deux normes ne
sont pas équivalentes, il conviendra donc d'identifier au préalable l'inégalité qui
n'est pas vraie. D'un point de vue pratique, pour un réel strictement positif C 2
fixé, il s'agit de déterminer, ou construire, un élément x de E (qui dépendra
de C 2 ) pour lequel N 2 (x) > C 2 Ni (x). Le second exemple détaillé ci-dessous
illustre la méthode.
o
Exemples
1 . Sur l'espace vectoriel 1K n [X] des polynômes P = L� =O a k X k à coefficients
dans lK qui sont de degré au plus n, les applications :
n
Ni : P E 1Kn [XJ !--- --) L la k l
k =O
et Noo : P E 1K n [X] !--- --) max l a k l
k E{O, ... ,n}
définissent des normes équivalentes. Pour tout P E 1K n [X], on a d'une part
Ni (P) :::; ; (n + l)Noo(P) car la k l :::; ; supj E{O, . . . ,n} lai l pour tout k E {O, . . . ,n}
et d'autre part Noo(P) :::; ; Ni (P) car sup jE {O, . . . ,n} lai l est l'un des termes, tous
positifs, de la somme définissant Ni (P). On en déduit que
1
-1
N1 (P) :::; ; Noo(P) :::; ; N1 (P).
n+
2. Sur l'espace vectoriel JK[X] des polynômes à coefficients dans JK, les normes
Ni et N00 de l'exemple précédent ne sont pas équivalentes. On a toujours
N00 (P) :::; ; Ni (P) pour tout P E JK[X] mais nous allons vérifier qu'il n'existe
pas de réel positif C tel que pour tout P E JK[X] on ait <28> N1 (P) :::; ; C N00 (P).
(2 8 ) On remarquera à ce propos que la constante obtenue dans l'exemple précédent avec OC,, IX]
dépend de n.
Normes et espaces vectoriels normés
On pourra vérifier que l'application Noo : L n Un E c i (JK) � sup nE N lun l est
aussi une norme sur c i (JK).
DÉFINITION 7.4 (Normes équivalentes)
Deux normes Ni et N 2 sur un méme espace vectoriel E sont dites équivalentes
s'il existe deux réels strictement positifs C1 et C 2 tels que :
Vx EE
Remarque Pour montrer que deux normes N1 et N 2 sur un espace vectoriel E
ne sont pas équivalentes, il faut montrer que (c'est la négation de l'assertion
quantifiée de la définition 7.4)
ou
3x E E N 2 (x) < Ci N1 (x)
3x E E N 2 (x) > C 2 Ni (x).
Signalons que dans le cas où deux normes ne sont pas équivalentes, il arrive
souvent que l'une des deux inégalités intervenant dans la définition 7.4 soit tout
de même vraie. Dans une telle situation, pour montrer que les deux normes ne
sont pas équivalentes, il conviendra donc d'identifier au préalable l'inégalité qui
n'est pas vraie. D'un point de vue pratique, pour un réel strictement positif C 2
fixé, il s'agit de déterminer, ou construire, un élément x de E (qui dépendra
de C 2 ) pour lequel N 2 (x) > C 2 Ni (x). Le second exemple détaillé ci-dessous
illustre la méthode.
o
Exemples
1 . Sur l'espace vectoriel 1K n [X] des polynômes P = L� =O a k X k à coefficients
dans lK qui sont de degré au plus n, les applications :
n
Ni : P E 1Kn [XJ !--- --) L la k l
k =O
et Noo : P E 1K n [X] !--- --) max l a k l
k E{O, ... ,n}
définissent des normes équivalentes. Pour tout P E 1K n [X], on a d'une part
Ni (P) :::; ; (n + l)Noo(P) car la k l :::; ; supj E{O, . . . ,n} lai l pour tout k E {O, . . . ,n}
et d'autre part Noo(P) :::; ; Ni (P) car sup jE {O, . . . ,n} lai l est l'un des termes, tous
positifs, de la somme définissant Ni (P). On en déduit que
1
-1
N1 (P) :::; ; Noo(P) :::; ; N1 (P).
n+
2. Sur l'espace vectoriel JK[X] des polynômes à coefficients dans JK, les normes
Ni et N00 de l'exemple précédent ne sont pas équivalentes. On a toujours
N00 (P) :::; ; Ni (P) pour tout P E JK[X] mais nous allons vérifier qu'il n'existe
pas de réel positif C tel que pour tout P E JK[X] on ait <28> N1 (P) :::; ; C N00 (P).
(2 8 ) On remarquera à ce propos que la constante obtenue dans l'exemple précédent avec OC,, IX]
dépend de n.