Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Exercice 7.6
1 - Soit (E, N) un e.v.n. et a un réel strictement positif. Montrer que
N: x E E 1-+ aN(x) est aussi une norme sur E.
2 - Soient E un espace vectoriel, N1 , N 2 deux normes sur E et a, b deux
réels strictement positifs. Montrer que N : x E E 1-+ a Ni (x) + b N 2 (x) est
aussi une norme sur E.
Exemples
1. Il résulte des propriétés de la valeur absolue (resp. du module) que sur lR
(resp. sur C) l'application x E OC 1-+ lxl est une norme.
2. Sur IK[X] , l'application N1 qui au polynôme P = L� =o akX k associe le réel
positif L� =O l ak 1 est une norme.
- Si Ni (P) = 0 alors pour tout k E {O, ... , n } on a lakl = 0 car Ni (P) est une
somme de termes positifs. Tous les coefficients du polynôme P étant nuls,
P est le polynôme nul. Il est par ailleurs clair que si P est le polynôme nul
alors N1 (P) = O.
- Les deux autres conditions de la définition 7.3 résultent de la linéarité de la
somme et des propriétés de la valeur absolue (ou du module) : i>.akl = i>.llakl
et lak + bk l � lakl + lbkl ·
On vérifiera sans peine que l'application N00 qui au polynôme P = L� =O akX k
associe sup k E{O , . .. , n} lakl est aussi une norme sur IK[X].
3. Montrons que sur l'espace vectoriel e i (IK) des séries numériques absolument
convergentes, l'application Ni qui à la série u = L n U n associe le réel positif
I:�:O lun l est une norme.
- Si Ni ( u) = 0 alors L�:O lun 1 = 0 ; or la seule série à termes positifs dont
la somme est nulle est la série nulle donc lunl = 0 pour tout n E N. Ceci
implique que Un = 0 pour tout n E N et par conséquent que u est la série
nulle. Il est par ailleurs clair que si u est la série nulle alors on a : Ni ( u) = O.
- La troisième condition de la définition 7.3 résulte des propriétés générales
des séries (voir la proposition 1.3 p. 12).
- Enfin, si u = L n U n et v = L n Vn sont deux séries absolument convergentes,
pour tout N E N on a :
N
N
N
N
L l u n + Vnl � L (lunl + lvn l) = L l unl + L lvn l ·
n=O
n=O
n=O
n=O
En passant à la limite quand N tend vers l'infini <2 7> , on obtient :
N1(u + v) � Ni (u) + Ni (v).
<2 7>
c ,
. .
.
.
1
é .
b 1
es 1m1tes existent puisque es s nes sont a so ument convergentes.
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Exercice 7.6
1 - Soit (E, N) un e.v.n. et a un réel strictement positif. Montrer que
N: x E E 1-+ aN(x) est aussi une norme sur E.
2 - Soient E un espace vectoriel, N1 , N 2 deux normes sur E et a, b deux
réels strictement positifs. Montrer que N : x E E 1-+ a Ni (x) + b N 2 (x) est
aussi une norme sur E.
Exemples
1. Il résulte des propriétés de la valeur absolue (resp. du module) que sur lR
(resp. sur C) l'application x E OC 1-+ lxl est une norme.
2. Sur IK[X] , l'application N1 qui au polynôme P = L� =o akX k associe le réel
positif L� =O l ak 1 est une norme.
- Si Ni (P) = 0 alors pour tout k E {O, ... , n } on a lakl = 0 car Ni (P) est une
somme de termes positifs. Tous les coefficients du polynôme P étant nuls,
P est le polynôme nul. Il est par ailleurs clair que si P est le polynôme nul
alors N1 (P) = O.
- Les deux autres conditions de la définition 7.3 résultent de la linéarité de la
somme et des propriétés de la valeur absolue (ou du module) : i>.akl = i>.llakl
et lak + bk l � lakl + lbkl ·
On vérifiera sans peine que l'application N00 qui au polynôme P = L� =O akX k
associe sup k E{O , . .. , n} lakl est aussi une norme sur IK[X].
3. Montrons que sur l'espace vectoriel e i (IK) des séries numériques absolument
convergentes, l'application Ni qui à la série u = L n U n associe le réel positif
I:�:O lun l est une norme.
- Si Ni ( u) = 0 alors L�:O lun 1 = 0 ; or la seule série à termes positifs dont
la somme est nulle est la série nulle donc lunl = 0 pour tout n E N. Ceci
implique que Un = 0 pour tout n E N et par conséquent que u est la série
nulle. Il est par ailleurs clair que si u est la série nulle alors on a : Ni ( u) = O.
- La troisième condition de la définition 7.3 résulte des propriétés générales
des séries (voir la proposition 1.3 p. 12).
- Enfin, si u = L n U n et v = L n Vn sont deux séries absolument convergentes,
pour tout N E N on a :
N
N
N
N
L l u n + Vnl � L (lunl + lvn l) = L l unl + L lvn l ·
n=O
n=O
n=O
n=O
En passant à la limite quand N tend vers l'infini <2 7> , on obtient :
N1(u + v) � Ni (u) + Ni (v).
<2 7>
c ,
. .
.
.
1
é .
b 1
es 1m1tes existent puisque es s nes sont a so ument convergentes.