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Normes et espaces vectoriels normés
En particulier un sous-espace vectoriel d'un OC-espace vectoriel est lui-même un
OC-espace vectoriel.
Exemples Soit X un ensemble de réels.
1. L'ensemble c0(X, JR.) des applications continues sur X à valeurs réelles est
un sous-espace vectoriel de A(X, JR.).
2. L'ensemble B(X, JR.) des applications bornées sur X à valeurs réelles est un
sous-espace vectoriel de A(X, JR.).
3. L'ensemble OC n [X] des polynômes de OC[X] de degré au plus n est un sousespace vectoriel Je OC[X] .
4. L'ensemble l 1 (0C) des séries numériques à coefficients dans OC, absolument
convergentes, est un sous-espace vectoriel de E(OC).
DÉFINITION 7.3 (Norme sur un espace vectoriel)
On appelle norme sur l'espace vectoriel E toute application N de E dans lR.
vérifiant les quatre conditions suivantes :
1. Pour tout x E E, N (x) ?: 0;
2. N(x) = 0 si et seulement si x= 0;
3. pour tout x E E et pour tout À E OC on a N(>.x) = i>- I N (x) ;
4. pour tout (x, y) E E 2 on a N(x + y) :s; N(x) + N(y) .
Un espace vectoriel normé est défini par la donnée simultanée d'un espace
vectoriel E et d'une norme N sur cet espace vectoriel. Il est noté (E, N).
Remarques
1. Il est courant de noter I l · IJE (ou plus simplement I J · I J lorsqu'il n'y a pas
d'ambiguïté possible) une norme sur l'espace vectoriel E. Par ailleurs, le terme
espace vectoriel normé est souvent écrit de manière abrégée e. v. n ..
2. On appelle semi-norme sur l'espace vectoriel E toute application N de E
dans JR. + vérifiant les conditions 1, 3 et 4 de la définition 7.3 mais pas nécessairement la condition 2.
3. Il est aisé de vérifier, voir l'exercice 7.6, que si N1 et N 2 sont deux normes
(resp. semi-normes) sur un espace vectoriel E, leur somme N1 + N 2 définit
elle aussi une norme (resp. semi-norme) sur E. On vérifiera également que si a
désigne un réel strictement positif, alors a N1 est également une norme (resp.
semi-norme) sur E.
4. Si (E, N) est un espace vectoriel normé et si A est un sous-espace vectoriel
de E alors la restriction à A de l'application N définit une norme sur A. On
qualifie alors (A, N) de sous-espace vectoriel normé de (E, N) .
5. On appelle vecteur unitaire tout vecteur x de l'espace vectoriel normé (E, N)
tel que N(x) = 1.
o
Normes et espaces vectoriels normés
En particulier un sous-espace vectoriel d'un OC-espace vectoriel est lui-même un
OC-espace vectoriel.
Exemples Soit X un ensemble de réels.
1. L'ensemble c0(X, JR.) des applications continues sur X à valeurs réelles est
un sous-espace vectoriel de A(X, JR.).
2. L'ensemble B(X, JR.) des applications bornées sur X à valeurs réelles est un
sous-espace vectoriel de A(X, JR.).
3. L'ensemble OC n [X] des polynômes de OC[X] de degré au plus n est un sousespace vectoriel Je OC[X] .
4. L'ensemble l 1 (0C) des séries numériques à coefficients dans OC, absolument
convergentes, est un sous-espace vectoriel de E(OC).
DÉFINITION 7.3 (Norme sur un espace vectoriel)
On appelle norme sur l'espace vectoriel E toute application N de E dans lR.
vérifiant les quatre conditions suivantes :
1. Pour tout x E E, N (x) ?: 0;
2. N(x) = 0 si et seulement si x= 0;
3. pour tout x E E et pour tout À E OC on a N(>.x) = i>- I N (x) ;
4. pour tout (x, y) E E 2 on a N(x + y) :s; N(x) + N(y) .
Un espace vectoriel normé est défini par la donnée simultanée d'un espace
vectoriel E et d'une norme N sur cet espace vectoriel. Il est noté (E, N).
Remarques
1. Il est courant de noter I l · IJE (ou plus simplement I J · I J lorsqu'il n'y a pas
d'ambiguïté possible) une norme sur l'espace vectoriel E. Par ailleurs, le terme
espace vectoriel normé est souvent écrit de manière abrégée e. v. n ..
2. On appelle semi-norme sur l'espace vectoriel E toute application N de E
dans JR. + vérifiant les conditions 1, 3 et 4 de la définition 7.3 mais pas nécessairement la condition 2.
3. Il est aisé de vérifier, voir l'exercice 7.6, que si N1 et N 2 sont deux normes
(resp. semi-normes) sur un espace vectoriel E, leur somme N1 + N 2 définit
elle aussi une norme (resp. semi-norme) sur E. On vérifiera également que si a
désigne un réel strictement positif, alors a N1 est également une norme (resp.
semi-norme) sur E.
4. Si (E, N) est un espace vectoriel normé et si A est un sous-espace vectoriel
de E alors la restriction à A de l'application N définit une norme sur A. On
qualifie alors (A, N) de sous-espace vectoriel normé de (E, N) .
5. On appelle vecteur unitaire tout vecteur x de l'espace vectoriel normé (E, N)
tel que N(x) = 1.
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