Espaces métriques et espaces vectoriels normés
et muni d'une loi de composition externe · sur le corps OC :
(a, x) E OC x E f--- --+ a · x E E
telles que
1. (E, +) est un groupe commutatif, i. e. :
- la loi + est associative,
- il existe un élément neutre dans (E, + ),
- tout élément de (E, +) admet un symétrique,
- la loi + est commutative ;
2. la loi externe · possède les propriétés suivantes :
\fa E OC
V(x, y) E E 2 a· (x +y) = a· x +a· y,
V( a, /3) E OC 2 Vx E E
(a +oc /3) . X = a . X + /3 . x,
V(a,/3) EOC 2 'Vx EE
a·(f3·x) = (a xr.i;./3) ·x,
'Vx E E
loc ·X= X.
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Les éléments de E sont appelés vecteurs et les éléments de OC sont appelés
scalaires.
On considérera par la suite uniquement des espaces vectoriels sur le corps IR
ou C. Si aucune ambiguïté n'est à craindre, on se contentera de parler d'espace
vectoriel pour désigner un espace vectoriel sur le corps IR ou sur le corps Rappelons <2 0 > les principaux exemples d'espaces vectoriels réels et complexes
(OC désigne IR ou - OC[X] le OC-espace vectoriel des polynômes <21> à coefficients dans OC;
- A(X, OC) le OC-espace vectoriel des applications <22> de X c OC dans OC;
- S(OC) le · OC-espace vectoriel des suites numériques <23> ;
�clT.l') 1 1T.l'
• 1 d , .
, . (2 4 )
- u .1& e .1&-espace vectone es senes numenques ;
- M n (OC) le OC-espace vectoriel <25l des matrices carrées n x n dont les éléments
appartiennent à OC.
(2 6 ) ,
•
Rappelons egalement qu'un sous-ensemble non vide F d'un OC-espace vectoriel E est qualifié de sous-espace vectoriel de E si
\:/(a, /3) E 0C 2 \:/(x, y) E F 2 a· X + /3 ·y E F.
<2 0 > On pourra consulter le Cours de première année p. 298 et suivantes pour le détail de la
vérification.
(2 1 ) •
Vo ir le Cours de première année p. 217 et p. 299.
(22) Vo ir le Cours de première année p. 299 et p. 559.
<23> Vo ir le Cours de première année p. 167 et p. 300.
(24) Vo ir le chap. 1 p. 2.
(25) Voir le Cours de première année p. 397.
<2 6 l Vo ir la définition 8.5 p. 306 du Cours de première année.