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Normes et espaces vectoriels normés
Remarques
1. La distance d 2 est appelée distance euclidienne sur ]R n . On notera que pour
n = 1 les trois distances usuelles sur ]R n se confondent et on retrouve la distance
usuelle sur lR : (x, y) E 1R 2 r--; lx - YI·
2. De façon plus générale, pour tout p EN* l'application
( n ) l / p
dp : (x, y) E ]R n
X ]R n
1--t
tr (X i - Yi ) P
définit une distance sur ]R n qui est équivalentes aux distances d00, d i et d 2 .
3. On montre également que sur e n (n EN*) les applications suivantes (où l · 1
désigne le module) définissent des distances équivalentes :
d00 : (x, y) E e n
X e n
1--t
max l x i - Yi l ,
iE{i,. . .,n}
n
d i : (x, y) E e n
X e n 1--t L lxi - Yi l ,
i=i
n
2: 1 x i - y i 1 2 ,
i=i
avec les notations : x = (xi , ... , Xn) et y = (y i , . .. , Yn )· Plus généralement, si
(E i , ôi), ... , (E n , ôn ) sont des espaces métriques alors sur le produit cartésien
E = E i x ... x E n les applications : ·
d00 : (x, y) E E 2 1--t max( ô 1 (xi , Yi), ... , ôn (X n, Yn )),
di :(x,y) EE 2 1--t ôi(xi ,yi)+ ... + ôn (X n , Yn ),
d 2 :(x, y) EE 2 1--t Jôi (xi , Yi) 2 + ... + ôn (X n , Yn ) 2 ,
définissent des distances équivalentes.
7.2 Normes et espaces vectoriels normés
<>
Un cas particulier d'espace métrique (E, d) est constitué par les espaces vectoriels dits « normés » : l'ensemble E possède une structure d'espace vectoriel et
la distance d est définie par une « norme ».
( 19)
•
Rappelons qu'un espace vectoriel sur un corps (OC, +K, xoc) (on parle de
OC-espace vectoriel et on note OC-e.v.) est un ensemble E muni d'une loi de
composition interne + :
(x, y) E Ex E 1--t x + y E E
< •9> voir le chap. 8 du Cours de première année consacré aux espaces vectoriels.