Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz <1 6> on a
n
2.) x i - Yi )(z i - Yi )
i= i
(t,( x; - y.) 2 ) j X (t,( Z; - y;)') j
=
d 2 (x, z) x d 2 (z, y).
On a donc bien d�(x, y) � d�(x, z) + d� (z, y) + 2d 2 (x, z)d 2 (z, y).
� Montrons que les trois distances sont équivalentes. Tout d'abord, la relation
d00(x, y) � di (x, y) est évidente car di (x, y) est égal à la somme de d00(x, y) (le
plus grand des réels positifs lxi - Yi ! lorsque i varie dans { 1, ... , n}) et de réels
positifs. Par ailleurs, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz
( iG) on obtient :
dj (x, y) � (t, 1 x lx; - y;I)
2
<; t, 1 2
x t, lx; - y;l 2 � n x dl (x, y).
On a donc di (x, y) � ..fii, d 2 (x, y).
Enfin, d00 (x, y) est le plus grand des réels positifs lxi - Yi 1 lorsque i varie
dans { 1, .. : , n} donc la somme L:� = i lxi - Yi l 2 est constituée de n termes tous
inférieurs ou égaux à d� (x, y). On en déduit que :
n
n
i= i
i= i
On a donc montré que : d00(x, y) � di(x, y) � ..fii, d 2 (x, y) � nd00(x, y) ; les
distances d00, di et d 2 sont donc équivalentes deux à deux.
D
La distance d 2 dans IR 2 mesure la distance « à vol d'oiseau » entre deux points.
On peut également donner une interprétation à la distance di : elle permet de
calculer la distance entre deux points en ville où le déplacement ne peut se faire
que selon les rues qui sont toutes orientées dans deux directions perpendiculaires < 1 7>
•
Exercice 7.5 Montrer que dans JR 3 l'application
est une distance <1 8 > équivalente à la distance d 2 définie à la proposition 7.2.
(IG) Voir la proposition 3 .6 p. 101 du Cours de première an née.
( 1 7) Le quartier de Siam à.Brest en est un exemple.
(l 8 ) On peut l'assimiler à la distance associée au déplacement d'un oiseau dans une ville
possédant de três hauts immeubles.