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Distance et espace métrique
Pour tout C E IR'.'f_, on dispose donc de deux fonctions f et g telles que
d00 (!, g) > C d i (!, g). Les distances ne sont par conséquent pas équivalentes.
Dans la suite du cours nous serons amenés à considérer les propriétés des fonctions de plusieurs variables réelles et nous aurons besoin de distances sur IRn .
On désigne par x un élément de IRn et par (x i , ... , Xn) le n-up)et de IRn correspondant à x.
PROPOSITION 7.2 (Distances usuelles sur IRn)
Soit n E N tel que n ?: 2 ; les applications suivantes définissent trois distances
sur IRn :
d00 : (x, y) E IRn X IRn i--+ max lxi - Yi l ,
iE{i, ... , n }
n
L l x i - Yi l ,
i=i
n
d 2 : (x, y) E IRn X IRn i--+ \ � lxi - Yi l 2 .
Ces distances sont équivalentes deux à deux et on a pour tout (x, y) E E 2 :
Démonstration � La vérification que d00 et d i sont des distances est laissée
en exercice. Montrons que d 2 définit une distance sur IRn en établissant les
conditions de la définition 7.1.
1 . La condition de positivité est évidente.
2. Soit (x, y) E IRn x IRn tel que d 2 (x, y) = O. La quantité d 2 (x, y) 2 est alors
une somme de carrés qui est nulle. On en déduit que pour tout entier i
avec 1 :::;:; i :::;:; n on a lxi - Yi 1 = O. Ceci implique que Xi = Yi pour tout
i E {1, ... , n} et donc que x = y. Il est immédiat que si x = y alors
d 2 (x, y) = O.
3. Soit (x, y) E IRn x IRn ; l'égalité d 2 (x, y) = d 2 (y, x) résulte du fait que pour
tout i E {1, ... ,n} on a (x i -y i ) 2 = ( Yi -x i ) 2 .
4. Soient x, y et z des éléments de IRn. lVIontrer que d 2 (x, y) :::;:; d 2 (x, z)+d 2 (z, y)
revient à montrer que d�(x, y) :::;:; d�(x, z) + d�(z, y) + 2d 2 (x, z)d 2 (z, y). On a
n
n
L (X i - Yi ) 2 = L ((xi - z i ) + (z i - Yi )) 2
i=i
i=i
n
n
n
=
L (X i - Zi) 2 + L (Z i - Yi ) 2 + 2 L (X i - Yi )(Z i - Yi ) ·
i=i
i=l
i=l