Espaces métriques et espaces vectoriels normés
353
2. Sur IR, la distance d i : (x, y) E IR 2 1-+ 1 arctan(x) - arctan(y) I n'est pas
équivalente à la distance usuelle d 2 : (x, y) E IR 2 1-+ lx - YI · Remarquons tout
d'abord que pour tout (x, y) E IR 2 on a d i (x, y) � d 2 (x, y) car d'après le
théorème des accroissements finis appliqué à la fonction arc-tangente entre x
et y (avec x < y), il existe un réel c E]x, y( tel que :
1
arctan(x) - arctan(y) = 1 + c 2 (x - y).
On en déduit que c14>
1 arctan(x) - arctan(y)I = i _;c2 lx - YI � lx - YI pour
tout (x, y) E IR 2 •
Pour montrer que ces deux distances ne sont pas équivalentes il faut donc montrer qu'il n'existe pas de réel strictement positif C tel que d 2 (x, y) � C d i (x, y),
autrement dit, il faut montrer que
\:/C E IR� 3(x, y) E IR2 C 3 jx - yl > 1 arctan(x) - arctan(y) I .
Pour C E IR+ fixé, considérons les réels x = 7r/C et y= O. On a Clx - YI = 7r
et 1 arctan(x) - arctan(y) I = arctan(7r /C). Comme la fonction arc-tangente est
bornée par 7r/2 on a Cjx - yl > 1 arctan(x) - arctan(y) I .
Cet exemple illustre le fait que pour deux distances non équivalentes, l'une des
inégalités de la définition 7.2 peut toutefois être vraie.
3. Sur C 0 ([a, b] , IR), les distances d i et d00 définies p. 348 ne sont pas équivalentes. Pour tout (f, g) E C 0 ([a, b] ,IR) 2 on a bien :
di (!, g) = f
b
lf(x) - g(x)I dx � (b - a) sup lf(x) - g(x) I = (b - a) d oo (f, g),
l a
x E[a , b]
mais il n'existe pas de réel strictement positif C tel que pour tout
(f, g) E C 0 ([a, b],IR) 2 on ait d00 (f, g) � Cdi (f, g). Pour le vérifier, montrons
que :
VC E IR� 3(!, g) E C 0 ([a, b],IR) 2 sup lf(x)-g(x)I > C l
b
lf(x)-g(x)I dx.
x E [a, b)
a
Pour C E IR+ fixé, considérons l'application f : x E [a, b] 1-+ (b - x) n - i où
l'entier naturel n vaut < •5> 2 + E( C (b - a)) et prenons pour g l'application nulle.
On a,
sup lf(x) - g(x)I = (b - a) n - i et
xE(a , b]
l
b
1
lf(x) - g(x)I dx = -(b - at.
a
n
Puisque c15>
n > C(b - a), on en déduit que :
Cd i (f, g) = C (b - at = _!. C(b - a) (b - a) n - i < (b - at - i =d oo (f, g) .
n
n
<14> L
·
·
·
1
éd d 1
ê
..
es cas ou x = y est tnv1a et pour y < x on peut proc er e a m me mamere en
inversant les rôles de x et y.
(l5 J ici E désigne la fonction partie entière ; voir le CouI"s de pI"emièI"e année p. 104.
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2. Sur IR, la distance d i : (x, y) E IR 2 1-+ 1 arctan(x) - arctan(y) I n'est pas
équivalente à la distance usuelle d 2 : (x, y) E IR 2 1-+ lx - YI · Remarquons tout
d'abord que pour tout (x, y) E IR 2 on a d i (x, y) � d 2 (x, y) car d'après le
théorème des accroissements finis appliqué à la fonction arc-tangente entre x
et y (avec x < y), il existe un réel c E]x, y( tel que :
1
arctan(x) - arctan(y) = 1 + c 2 (x - y).
On en déduit que c14>
1 arctan(x) - arctan(y)I = i _;c2 lx - YI � lx - YI pour
tout (x, y) E IR 2 •
Pour montrer que ces deux distances ne sont pas équivalentes il faut donc montrer qu'il n'existe pas de réel strictement positif C tel que d 2 (x, y) � C d i (x, y),
autrement dit, il faut montrer que
\:/C E IR� 3(x, y) E IR2 C 3 jx - yl > 1 arctan(x) - arctan(y) I .
Pour C E IR+ fixé, considérons les réels x = 7r/C et y= O. On a Clx - YI = 7r
et 1 arctan(x) - arctan(y) I = arctan(7r /C). Comme la fonction arc-tangente est
bornée par 7r/2 on a Cjx - yl > 1 arctan(x) - arctan(y) I .
Cet exemple illustre le fait que pour deux distances non équivalentes, l'une des
inégalités de la définition 7.2 peut toutefois être vraie.
3. Sur C 0 ([a, b] , IR), les distances d i et d00 définies p. 348 ne sont pas équivalentes. Pour tout (f, g) E C 0 ([a, b] ,IR) 2 on a bien :
di (!, g) = f
b
lf(x) - g(x)I dx � (b - a) sup lf(x) - g(x) I = (b - a) d oo (f, g),
l a
x E[a , b]
mais il n'existe pas de réel strictement positif C tel que pour tout
(f, g) E C 0 ([a, b],IR) 2 on ait d00 (f, g) � Cdi (f, g). Pour le vérifier, montrons
que :
VC E IR� 3(!, g) E C 0 ([a, b],IR) 2 sup lf(x)-g(x)I > C l
b
lf(x)-g(x)I dx.
x E [a, b)
a
Pour C E IR+ fixé, considérons l'application f : x E [a, b] 1-+ (b - x) n - i où
l'entier naturel n vaut < •5> 2 + E( C (b - a)) et prenons pour g l'application nulle.
On a,
sup lf(x) - g(x)I = (b - a) n - i et
xE(a , b]
l
b
1
lf(x) - g(x)I dx = -(b - at.
a
n
Puisque c15>
n > C(b - a), on en déduit que :
Cd i (f, g) = C (b - at = _!. C(b - a) (b - a) n - i < (b - at - i =d oo (f, g) .
n
n
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·
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1
éd d 1
ê
..
es cas ou x = y est tnv1a et pour y < x on peut proc er e a m me mamere en
inversant les rôles de x et y.
(l5 J ici E désigne la fonction partie entière ; voir le CouI"s de pI"emièI"e année p. 104.