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Distance et espace métrique
0
1
d . ' l't' t .
1
.
1
,
1 ( ll)
n retrouve a secon e mega i e nangu aire pour es ree s .
0
Il arrive parfois que deux distances différentes d i et d 2 sur un même ensemble E
soient assez « ressemblantes » pour que les espaces métriques (E, di ) et (E, d 2 )
possèdent certaines propriétés communes. On définit ainsi la notion de distances
équivalentes.
DÉFINITION 7.2 (Distances équivalentes)
On dit que deux distances d i et d 2 sur un ensemble E sont équivalentes s'il
existe deux réels strictement positifs Ci et C 2 tels que
Remarques
\:/(x, y) E E 2
1. Sur l'ensemble des distances sur un ensemble E donné, la relation « être
équivalentes à » est une relation réflexive (une distance est équivalente à elle
même) , symétrique (si une distance d i est équivalente à une distance d 2 , cette
dernière est également équivalente à la distance d i ) et transitive (si d1 est une
distance équivalente à d 2 et que d 2 est équivalente à d 3 alors d i est équivalente
à d 3 )· Il s'agit donc d'une relation d'équivalence <1 2 > . La propriété de symétrie
indique en particulier que pour montrer que deux distances d i et d 2 sont équivalentes, il faut et il suffit d'établir que l'une des deux assertions suivantes est
vraie :
:3(C1 , C 2 ) E IR.� 2 \:/(x, y) E E 2 C1 d1(x, y) � d 2 (x, y) � C 2 d i (x, y)
ou :3(C 3 ,C4) E IR.� 2 \:/(x, y) E E 2 C 3 d 2 (x, y) � di (x, y) � C4 d 2 (x, y).
2. Pour montrer que deux distances ne sont pas équivalentes, il faut et il suffit
de montrer que l'une des deux assertions suivantes est vraie ·:
Exemples
VC1 E JR� 3(x, y) E E 2
ou \:/C 2 E JR� 3(x, y) E E 2
Ci d1(x, y) > d 2 (x, y)
d i (x, y) > C 2 d 2 (x, y).
0
1. Les deux applications d i : (x, y) E IR. 2 x JR 2 r-+ IY1 - x1I + IY 2 - x 2 I et
d 2 : (x, y) E 1R 2 x 1R 2 r-+ J(y1 --:- x1) 2 + (Y 2 - x 2 ) 2 où (xi , x 2 ) et (y1 , Y 2 ) désignent respectivement les composantes de x et y, sont des distances équivalentes
sur JR 2 • En effet, la relation ../ a 2 + b 2 � lal + lbl � ../2 ../ a 2 + b 2 valable
<13> pour
tous réels a, b implique que pour tous x, y E JR 2 , on a
V (Y1 - x1) 2 + (y 2 - x 2 ) 2 � IYi -x1l+lv 2 -x 2 I � v'2 V (Y1 - x1) 2 + (y 2 - x 2 ) 2 .
( ll) Voir la proposition 3 . 7 p. 102 du Cours de première an née.
<1 2 > Voir la définition 2.28 p. 55 du Cours de première an née.
<13> La vérification est immédiate en élevant au carré chaque terme.
Distance et espace métrique
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d . ' l't' t .
1
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,
1 ( ll)
n retrouve a secon e mega i e nangu aire pour es ree s .
0
Il arrive parfois que deux distances différentes d i et d 2 sur un même ensemble E
soient assez « ressemblantes » pour que les espaces métriques (E, di ) et (E, d 2 )
possèdent certaines propriétés communes. On définit ainsi la notion de distances
équivalentes.
DÉFINITION 7.2 (Distances équivalentes)
On dit que deux distances d i et d 2 sur un ensemble E sont équivalentes s'il
existe deux réels strictement positifs Ci et C 2 tels que
Remarques
\:/(x, y) E E 2
1. Sur l'ensemble des distances sur un ensemble E donné, la relation « être
équivalentes à » est une relation réflexive (une distance est équivalente à elle
même) , symétrique (si une distance d i est équivalente à une distance d 2 , cette
dernière est également équivalente à la distance d i ) et transitive (si d1 est une
distance équivalente à d 2 et que d 2 est équivalente à d 3 alors d i est équivalente
à d 3 )· Il s'agit donc d'une relation d'équivalence <1 2 > . La propriété de symétrie
indique en particulier que pour montrer que deux distances d i et d 2 sont équivalentes, il faut et il suffit d'établir que l'une des deux assertions suivantes est
vraie :
:3(C1 , C 2 ) E IR.� 2 \:/(x, y) E E 2 C1 d1(x, y) � d 2 (x, y) � C 2 d i (x, y)
ou :3(C 3 ,C4) E IR.� 2 \:/(x, y) E E 2 C 3 d 2 (x, y) � di (x, y) � C4 d 2 (x, y).
2. Pour montrer que deux distances ne sont pas équivalentes, il faut et il suffit
de montrer que l'une des deux assertions suivantes est vraie ·:
Exemples
VC1 E JR� 3(x, y) E E 2
ou \:/C 2 E JR� 3(x, y) E E 2
Ci d1(x, y) > d 2 (x, y)
d i (x, y) > C 2 d 2 (x, y).
0
1. Les deux applications d i : (x, y) E IR. 2 x JR 2 r-+ IY1 - x1I + IY 2 - x 2 I et
d 2 : (x, y) E 1R 2 x 1R 2 r-+ J(y1 --:- x1) 2 + (Y 2 - x 2 ) 2 où (xi , x 2 ) et (y1 , Y 2 ) désignent respectivement les composantes de x et y, sont des distances équivalentes
sur JR 2 • En effet, la relation ../ a 2 + b 2 � lal + lbl � ../2 ../ a 2 + b 2 valable
<13> pour
tous réels a, b implique que pour tous x, y E JR 2 , on a
V (Y1 - x1) 2 + (y 2 - x 2 ) 2 � IYi -x1l+lv 2 -x 2 I � v'2 V (Y1 - x1) 2 + (y 2 - x 2 ) 2 .
( ll) Voir la proposition 3 . 7 p. 102 du Cours de première an née.
<1 2 > Voir la définition 2.28 p. 55 du Cours de première an née.
<13> La vérification est immédiate en élevant au carré chaque terme.