Espaces métriques et espaces vectoriels normés
,.
•
Fig. 2 Illustration de l'utilisation de la distance de Hamming
en infographie.
Exercice 7 .4
351
1 - Montrer que quelle que soit la suite numérique (u n ) n , la série
"°'
1
j u ,, j
wn 2" l + ju,. j converge.
2 - Montrer que sur l'ensemble des suites numériques S(JK), l'application
d . (( ) ( ) ) s ( w ) 2 "'+ = 1 u,. - v ,,
d'
c 1oi
·
Un n, Vn n E
JN>.
1-4 wn = O 2 ,. l + u,. - v ,. est une !Stance .
PROPOSITION 7.1 (Seconde inégalité triangulaire)
Soit (E, d) un espace métrique ; pour tout (x, y, z) E E 3 on a
Jd(x, z) - d(y, z)J ::;; d(x, y) .
Démonstration Remarquons pour commencer que, sans restreindre la portée
de la démonstration, on peut supposer que d(x, z) - d(y, z) est positif car si
l'on se donne trois éléments quelconques de l'ensemble E, on peut appeler z
l'un des trois et nommer x celui des deux autres éléments dont la distance à z
est la plus grande. En utilisant la première inégalité triangulaire (quatrième
condition de la définition 7.1), on obtient
d(x, z) ::;; d(x, y) + d(y, z)
et par conséquent d(x, z) - d(y, z) ::;; d(x, y) . Comme par hypothèse le réel
d(x, z) - d(y, z) est positif, on a d(x, z) - d(y, z) = Jd(x, z) - d(y, z)J et le
résultat est démontré.
0
Remarque
Si E est l'ensemble lR muni de la distance définie par
d : (x, y) E IR 2 1-4 J x - yJ alors en prenant z = 0, la relation de la proposition 7.1 indique que pour tout (x, y) E JR 2 on a
JJxJ - J yJ I ::;; J x - yJ.
(10) On pourra établir que pour (x, y) E JR + x JR + on a : x � y =? l�x � Tty ·
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Fig. 2 Illustration de l'utilisation de la distance de Hamming
en infographie.
Exercice 7 .4
351
1 - Montrer que quelle que soit la suite numérique (u n ) n , la série
"°'
1
j u ,, j
wn 2" l + ju,. j converge.
2 - Montrer que sur l'ensemble des suites numériques S(JK), l'application
d . (( ) ( ) ) s ( w ) 2 "'+ = 1 u,. - v ,,
d'
c 1oi
·
Un n, Vn n E
JN>.
1-4 wn = O 2 ,. l + u,. - v ,. est une !Stance .
PROPOSITION 7.1 (Seconde inégalité triangulaire)
Soit (E, d) un espace métrique ; pour tout (x, y, z) E E 3 on a
Jd(x, z) - d(y, z)J ::;; d(x, y) .
Démonstration Remarquons pour commencer que, sans restreindre la portée
de la démonstration, on peut supposer que d(x, z) - d(y, z) est positif car si
l'on se donne trois éléments quelconques de l'ensemble E, on peut appeler z
l'un des trois et nommer x celui des deux autres éléments dont la distance à z
est la plus grande. En utilisant la première inégalité triangulaire (quatrième
condition de la définition 7.1), on obtient
d(x, z) ::;; d(x, y) + d(y, z)
et par conséquent d(x, z) - d(y, z) ::;; d(x, y) . Comme par hypothèse le réel
d(x, z) - d(y, z) est positif, on a d(x, z) - d(y, z) = Jd(x, z) - d(y, z)J et le
résultat est démontré.
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Remarque
Si E est l'ensemble lR muni de la distance définie par
d : (x, y) E IR 2 1-4 J x - yJ alors en prenant z = 0, la relation de la proposition 7.1 indique que pour tout (x, y) E JR 2 on a
JJxJ - J yJ I ::;; J x - yJ.
(10) On pourra établir que pour (x, y) E JR + x JR + on a : x � y =? l�x � Tty ·