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Distance et espace métrique
On en déduit donc que l f( x) - g( x)I � d=( f,g) + doco( g,h) pour tout
x E [a, b]. Cela implique que maxx E[a , b
J l f( x) -g( x)I � d=( f, g) + doco( g, h),
autrement dit que doco( f, h) � doco( f, g) + doco( g, h).
Exercice 7.3 Montrer que l'application
l
d 2 : ( f,g) E C 0 ([a, b],JR) X C 0 ([a, b],JR) f-+ (1 b( j ( x)-g( x)) 2 dx )
2
est une distance sur c 0 ([a, b] , JR).
Remarques
1. On vérifie sans difficulté que si di et d 2 sont deux distances sur un ensemble E
alors di + d 2 est aussi une distance sur E. De plus, si À est un réel strictement
positif alors À di est une distance sur E.
2. Si (E, d) est un espace métrique et A est un sous-ensemble de E, la restriction
de l'application d à l'ensemble A x A qui est définie par dA ( x, y) = d( x, y) pour
tout ( x, y) E A 2 est une distance sur A. On qualifie (A, d) de sous-espace
métrique de (E, d). Par exemple l'ensemble Q des nombres rationnels muni de
la distance dQ : ( x, y) E Q 2 i--+ l x -YI est un sous-espace métrique de lR muni
de la distance usuelle d : ( x, y) E 1R 2 i--+ l x -YI .
o
La distance de Hamming qui est utilisée en informatique et dans les télécommunications joue un rôle très important en théorie des codes correcteurs. Elle
permet de quantifier la différence entre deux séquences de symboles. Si on pose
a = ao ... an et b = bo ... bn, où les ai et bi sont des symboles appartenant à
un ensemble A (A = {O, 1 } dans le cas de bits en informatique), la distance
de Hamming est définie par : d( a, b) = Carel { i ; ai i- bi }. Si on considère les
séquences binaires suivantes : a = 0 0 0 1 1 1 1 et b = 1 1 0 1 0 1 1 on a
d(a, b) = 3; il y a 3 bits qui diffèrent.
En infographie, elle est utilisée pour comparer deux images et quantifier la
façon dont ces deux images diffèrent. Calculer la distance de Hamming entre
deux images revient à comptabiliser le nombre de pixels dont la couleur diffère.
Par exemple, la distance de Hamming entre les deux images de gauche sur la
figure 2 vaut 4078 : il y a 4078 pixels qui diffèrent entre les deux images qui
sont chacune constituées de 5122 pixels. L'image de droite indique les pixels
qui diffèrent entre les deux images. Bien entendu, en pratique on essaie d'avoir
une valeur relative qui ne dépende pas du nombre de pixel des deux images.
Dans notre cas la distance de Hamming relative est 4078/512 2 = 0.0156.
Ainsi définie, la distance de Hamming relative est une application à valeurs
dans [O, l] . La valeur 0 est atteinte lorsque les deux images sont identiques
alors que la valeur 1 est atteinte dans le cas où aucun des pixels entre les deux
images est identique.
Distance et espace métrique
On en déduit donc que l f( x) - g( x)I � d=( f,g) + doco( g,h) pour tout
x E [a, b]. Cela implique que maxx E[a , b
J l f( x) -g( x)I � d=( f, g) + doco( g, h),
autrement dit que doco( f, h) � doco( f, g) + doco( g, h).
Exercice 7.3 Montrer que l'application
l
d 2 : ( f,g) E C 0 ([a, b],JR) X C 0 ([a, b],JR) f-+ (1 b( j ( x)-g( x)) 2 dx )
2
est une distance sur c 0 ([a, b] , JR).
Remarques
1. On vérifie sans difficulté que si di et d 2 sont deux distances sur un ensemble E
alors di + d 2 est aussi une distance sur E. De plus, si À est un réel strictement
positif alors À di est une distance sur E.
2. Si (E, d) est un espace métrique et A est un sous-ensemble de E, la restriction
de l'application d à l'ensemble A x A qui est définie par dA ( x, y) = d( x, y) pour
tout ( x, y) E A 2 est une distance sur A. On qualifie (A, d) de sous-espace
métrique de (E, d). Par exemple l'ensemble Q des nombres rationnels muni de
la distance dQ : ( x, y) E Q 2 i--+ l x -YI est un sous-espace métrique de lR muni
de la distance usuelle d : ( x, y) E 1R 2 i--+ l x -YI .
o
La distance de Hamming qui est utilisée en informatique et dans les télécommunications joue un rôle très important en théorie des codes correcteurs. Elle
permet de quantifier la différence entre deux séquences de symboles. Si on pose
a = ao ... an et b = bo ... bn, où les ai et bi sont des symboles appartenant à
un ensemble A (A = {O, 1 } dans le cas de bits en informatique), la distance
de Hamming est définie par : d( a, b) = Carel { i ; ai i- bi }. Si on considère les
séquences binaires suivantes : a = 0 0 0 1 1 1 1 et b = 1 1 0 1 0 1 1 on a
d(a, b) = 3; il y a 3 bits qui diffèrent.
En infographie, elle est utilisée pour comparer deux images et quantifier la
façon dont ces deux images diffèrent. Calculer la distance de Hamming entre
deux images revient à comptabiliser le nombre de pixels dont la couleur diffère.
Par exemple, la distance de Hamming entre les deux images de gauche sur la
figure 2 vaut 4078 : il y a 4078 pixels qui diffèrent entre les deux images qui
sont chacune constituées de 5122 pixels. L'image de droite indique les pixels
qui diffèrent entre les deux images. Bien entendu, en pratique on essaie d'avoir
une valeur relative qui ne dépende pas du nombre de pixel des deux images.
Dans notre cas la distance de Hamming relative est 4078/512 2 = 0.0156.
Ainsi définie, la distance de Hamming relative est une application à valeurs
dans [O, l] . La valeur 0 est atteinte lorsque les deux images sont identiques
alors que la valeur 1 est atteinte dans le cas où aucun des pixels entre les deux
images est identique.