Séries de Fourier
b) Pour tout NE N* et pour tout x E] - 7r, 7r[, on a
SN (x) 2 t, 9n (x) = 2 t, (� ( n : r
k
)
= 2 � ( t, ( : 7r r
k
) = 2 � 7r ; k ( t, n ; k) x 2 k
335
où ( N : t 1-> E� =l ;t . Le rayon de convergence de la série entière Et:i ;rk ( N (2 k ) x 2 k
<33>
œ
, 1
d N , .
t' ' d
d
vaut 7r car on a euectue a somme e senes en ieres e rayon e convergence 7r, 27r, ... , N 7r tous distincts dont le minimum est 7r.
3 - a) On obtient, en utilisant le développement en série entière de S N établi
à la question précédente, que pour x E) - 7r, 7r[ :
+ oo
2 n + oo 2 n
SN(x) - T(x) = 2 L ( N( 2n) ; 2 n - 2 L ((2n) ; 2 n
n=l
n=l
(
+ oo
2 n
)
2 �((N(2n) - ((2n)) ; 2 n .
N 1 + oo 1 + oo 1
P
1
On a (N(2n) - ((2n) = L k2 n - L k2 n = L k2 n =
P ,!! �00 L k2 n ·
k=l k=l k=N +l
k=N +l
De plus, la fonction î/J: t 1-> 1/t 2 n étant décroissante sur JO, +oo[, on a c 34> pour
tout k EN* :
On en déduit que :
1 1
k +l 1
1
--- �
- dt �( k + 1 ) 2 n "' k t 2 n "' k2 n ·
p 1
k +l 1
p
1
p 1
k 1
"""'" "
- d t � """'" " - � """'" "
- dt
� . t 2 n "' � k2 n "' � k - t 2 n
k=N +l k
k=N +l k=N +l l
1
P +l 1
=
-dt
N +l t 2 n
<33> Voir la proposition 5.6 p. 244.
1
p 1
=
-dt
N t 2 n
<3 4> La décroissance de 'l/J sur [k, k + 1] implique que pour tout t E [k, k + 1] on a
'l/J(k + 1) :( 'l/J(t) :( 'l/J(k) ce qui entraîne que
r
k + l
r
k + l
r
k + l
'l/i (k + 1) = J k
'l/J(k + 1) dt ::;; J k
'l/J(t) dt ::;; J k
'l/i(k) dt = 'l/i(k).