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Solutions des exercices
En considérant la limite quand P tend vers +oo, on obtient pour tout n E N*,
- dt
1
+= 1
N t 2 n
'---v- -"'
1
1
::s; (N (2n) - ((2n) ::s;
1
+= 1
-dt
N + I t 2 n
�
1 1
= 2n - 1 (N + 1 ) 2 n-l
Pour tout n EN* on a donc 0 ::s; (N (2n) - ((2n) ::s; l/N car la suite de terme
général Vn = 1/(2n - l)N 2 n-l est une suite décroissante qui est majorée par
v1 = l/N. On en déduit que pour tout x E] - 7f, 7r [ et tout n EN* , on a
x 2 n l x 2 n
0 ::s; ((N (2n) - ((2n)) -2 - ::s; N - 2 -
1f n 1f n
ce qui implique que
1
+=
2 n
0 ::s; T(x) - SN (x) ::s; N L (;) .
n=l
Le théorème d'encadrement indique alors que limN- += SN (x) = T(x) pour
tout x E] - 7f, 7r [. Puisque limN- += SN (x) = I:: !:i_ n2;f�x2 on en conclut que
pour tout x E] - 7f, 7r [ on a
+= 2 2
+=
2 n
""' 2 2 x 2
= 2 ""' ((2n) � 2 .
L... .. .t n1f -x L... .. .t 1f n
n=l
n=l
+= 2 2
b) Pour x E] - n, 7r [, on a : x cotan(x) = 1 - L 2 2 x 2 et d'après ce
n n -x
n=l
qui précède
+= 2 2
+=
2 n
""' 2 2 x 2
= 2 ""' ((2n) � 2 .
L... .. .t n1f -x L... .. .t 1f n
n=l
n=l
On en déduit que pour tout x E] - 7f, n [, on a
+=
2 n
x cotan(x) = 1 - 2 L ((2n) � 211 .
n=l
c)
Calculons le développement limité en 0 de

' () 1 3 1 5 1 7 7
sm x = x - -x + -x - -x + oo(x )
3!
5!
7!
.
On en déduit que :
sin( x)
1 2 1
4
1 6 6
-
x
- = 1 - 31 x + 51 x - 7f x +oo(x ) .
= Q(x)