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Solutions des exercices
La série de Fourier de f est donc
1
+ oo (-l) n + l 2t
S(f)(x) = - sin(7rt) + L
-2 --2 sin(7rt) cos(nx).
7rt
n = 1
7f n - t
b) La fonction f est de classe C00 sur [-7r, 7r] et continue sur lR. car
limx-. - 7r + f(x) = limx_, 7r - = cos(7rt). D'après le théorème de Dirichlet, on
en déduit que la série de Fourier de f converge simplement vers f sur R
c)
La série de Fourier de f converge en x = 7f vers f(7r) donc pour tout
t E lR. \ Z, on a
cos( 7rt)
1
+ oo (-l) n + l 2t
= - sin(7rt) + L
-2 --2 sin(7rt) cos(n7r)
7rt
7f n - t
--..- -
n=l
1
(1 + oo 2t )
- sin(7rt) - - '""'°' -- .
7f
t L... . n 2 - t 2
n=l
Pour tout t E lR. \ Z, on a sin(7rt) -:f. 0 donc
cos( 7rt) 1
cotan(7rt) = - .
-
(
-
) = -
sm 7ft 7f
On déduit de la relation précédente que
( 1 OO 2t )
t
-
L: n 2 - t 2
n=l
+ oo 2t 2
7rt cotan( 7rt) = 1 - '""'°' 2 2 .
L... . n - t
n=l
=(- 1 r
En effectuant le changement de variable s = 7ft, pour t E JR.\Z on a s E lR. \ 7rZ et
+ oo
2s 2
s cotan(s) = 1- '""'°' ( ) 2 2 .
L... . n1f - s
n=l
2 - a) Pour tout x E [-7r, O(U]O, 7r] on a
x 2
1
gn(x) = � 2
2·
n1f 1- (,:'7r)
Quand x est a voisinage de 0, le réel u = ( ; 7r )
2
est au voisinage de O. De plus,
pour tout u E] - 1, 1 [, on a l�u = Lk� u k donc
g n X = ____: :_
� ( � )2k =
� ( � )2k + 2 =
� ( � )2k
.
( ) n27r2 L... . n1f
L... . n1f
L... . n1f
k=O
k=O
k=l
Le développement en série entière de gn au voisinage de 0 est donc Lk� ( ; 7r )
2k
et on a gn(x) = L:t� c:7r )
2k
pour tout u = : 11" dans ] - 1, 1 [ i. e. pour tout
x E] - n1f, n7r[. Le rayon de convergence de la série est donc R = n1f.