Séries de Fourier
333
l
1 r 2 n
0
( )
De p us, ao =
2 11: J o 1 dx = 1. n en déduit que Sn x = ao = 1 ce qui permet
d'établir la formule.
SOLUTION DE L'EXERCICE 6.3
·Pour tout n E N* , on obtient en intégrant par parties
nbn = 1 2 11: f(x) sin(nx) dx
[ 1
] 2 11: 1 1 2 11:
--f(x) cos(nx) + -
J ' (x) cos(nx) dx
n
o n 0
_.!. f 2 11: J'(x) cos(nx) dx.
n lo
Comme f est de classe C 1 sur � ' l'application f' est continue sur l'intervalle
fermé et borné [O, 2n] ; par conséquent, l'application f' est bornée <32> et atteint
ses bornes sur [O, 2n]. Notons M = supx E ( o , 2 11:
] lf '(x)I ; on a
l nbn l � -
lf ' (x)I 1 cos(nx)I dx � _.!!._ M.
1 1 27r
2
n 0 ...._,. ._ _, "--. ..,. .- -'
n
�M
� 1
Par le théorème d'encadrement, on en déduit que la suite (bn)n converge vers O.
On procède de même pour montrer que la suite (an)n converge vers O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 6.4
1 - a) Comme f est une fonction paire, les coefficients b n = � Jg 11: f(x) sin(nx) dx
sont nuls. De plus,
ao = ..!. r cos(tx) dx = [ _!_ sin(tx)]
'lr = _!_ sin(nt)
n Jo
nt
o nt
et pour tout n E N* on a
2
1 11:
1 1 11:
an = -
cos(tx) cos(nx) dx = - (cos((n + t)x) + cos((n - t)x)) dt
n 0
n 0
[ (
1
) sin((n + t)x) + (
1
) sin((n - t)x)] 11:
nn+t
nn-t
o
( 1
) sin((n + t)n) + (
1
) sin((n - t)n) .
nn+t
nn-t
Or, pour tout a: E �on a sin( a:+ nn) = (- l) n sin( a:), donc
(-l) n .
(
1 1 )
( - 1 r .
2t
an = -- sm(nt) -- - -- = -- sm(nt) - 2 -- 2 .
n
n+t n-t
n
n - t
(32) .
'
•
V01r le théoreme 13.4 p. 596 du Cours de première année .