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Solutions des exercices
6.4 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 6.1
En effectuant le changement de variable y = x/2, on obtient
ao = - 2
1
f 2 7r lsin(x /2)1 dx = .!. r lsin(y)I dy = .!. r sin(y) dy = � .
rr lo
rr l o
1r lo
rr
De la même manière, pour n E N* on a
an = .!. f 2 7r lsin(x/2)1 cos(nx) dx = � r sin(y) cos(2ny) dy.
rr lo
rr }o
Comme sin(y) cos(2ny) = � sin(y - 2ny) + � sin(y + 2ny), on obtient :
11 7r
11 7r
an = - - sin((2n - l)y) dy + - sin((2n + l)y) dy
7f 0
7f 0
.!. [1
- cos( (2n - 1 )y)] 7r - _!. [1
- cos( (2n + 1 )y)] 7r.
rr 2n - 1
o rr 2n + 1
o
Compte tenu du fait que cos((2n - l)rr) = cos((2n + l)rr) = - 1, on obtient
an = - ( ; ) . Par ailleurs, pour n E N*, on a
rr 4n - 1
bn = .!. f 2 7r lsin(x/2)1 sin(nx) dx = � r sin(y) sin(2ny) dy.
rr lo
rr lo
Comme sin(y) sin(2ny) = � cos(2ny - y) - � sin(2ny +y), on obtient
11 7r
11 7r
- cos((2n - l)y) dy - - cos((2n + l)y) dy
7f 0
7f 0
1 [ 1
]7r
1 [ 1
]7r
- -- sin((2n - l)y) - - -- sin((2n + l)y)
rr 2n - 1
o rr 2n + 1
o =o .
Nous verrons ultérieurement (voir le corollaire 6.1 p. 315) que ce dernier résultat
était prévisible puisque la fonction f est paire.
SOLUTION DE L'EXERCICE 6.2
Appliquons la formule de Dirichlet à la fonction constante égale à 1 (qui est
bien une application 2rr-périodique et Riemann-intégrable sur [O, 2rr]) ; pour
tout n EN
1 7r sin((2n + lH)
( )
. (
t
)
dt = rr Sn 0 ,
0
sm 2
où S n désigne le ri-ième terme de la suite des sommes partielles associée à la
série de Fourier de la fonction constante égale à 1. Calculons les coefficients de
Fourier de cette fonction. Pour tout n E N* , on a
1
1
2 7r
[ 1
] 2 7r
an
-
cos(nx) dx = - sin(nx) = 0,
rr o
rrn
o
1
1
2 7r
[ 1
] 2 7r
bn = -
sin(nx) dx = - - cos(nx) =O.
rr o
rrn
o