Séries de Fourier
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Que vaut S� (O) ?
c) Résoudre l'équation S� (x) = 0 sur (0, 7r].
Pour k EN, on note U k = 2k1f/n, V k = (2k + l)7r/(n + 1) et tk = (u k + v k )/2,
S k = (v k + U k+ i )/2.
d) Déterminer le signe de S� (tk ) et de S� (sk) pour tout k EN avec k < n/2.
e) Donner le tableau de variation de Sn -
L'entier n étant fixé, on notera que le tableau de variation indique que les
maxima relatifs de Sn(x) sur [O, 7r] sont les réels mi
n ) = Sn(vk ) où k E N est
tel que k :s;; n/2.
3 - a) :Montrer que pour tout k EN* tel que k :s;; n/2 on a
rn ( n ) - rn ( n ) =
k
k - 1 1 Vk sin(!nt) cos(�(n + l )t) d
1
t.
sin( 2t)
Vk-1
b) En déduire que pour tout k E N* tel que k :s;; n/2 on a
mi
n ) - mi�\ :s;; . /
1 k v · - ki sin ( ! nt) cos (!(n + l )t) dt.
sm( 2v k- 1 )
c) Montrer que
r k (1 )
( < - 1 )2k+ l )
•
( k )
. ( 1 )
l v � · -l
sin 2nt cos (! (n + l)t ) dt = 2 2n+l - 1 sm n+l 7f sm 2(n+l)7f .
d) En déduire que la suite (mi
n ) ) kE {O , ... , E ( n/2 )
} est strictement décroissante.
4 - On considère la suite (µn)n de terme général µn = sup Sn(x).
xE [0,1TI
a) Montrer que µn = m�
n ) .
1 1T sin(t)
b) En déduire que la suite (µn )n tend vers I = -- dt.
0
t
(1 d . .
.
,
d R'
(31 ) )
n icat 1 0n : on pourra mterpreter µn comme une somme e iemann .
c)
Calculer une valeur approchée de I.
5 - Comparer les valeurs de
sup ( lim Sn(x)) et
xE [0,1Tj n -+ oo
lim ( sup Sn(x)) .
n -+ oo xE [0,1Tj
et interpréter les résultats obtenus relativement au phénomène de Gibbs.
(J l) Voir la définition 18.8 p. 868 du Cours de première année.