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Exercices de synthèse
Exercice 6.5 Phénomène de Gibbs
Au voisinage d'un point où une fonction f présente une discontinuité, les valeurs prises par les sommes partielles Sn de la série de Fo urier de f oscillent
autour de la valeur vers laquelle elles doivent converger et l'augmentation de
l'ordre n de la somme partielle considérée ne diminue pas l'amplitude de l'oscillation contrairement à ce que l'intuition pourrait suggérer. Au contraire, l'écart
reste toujours supérieur à une valeur seuil, aussi grand soit l'ordre de la somme
partielle. To utefois, l'oscillation s'effectue sur des intenralles de plus en plus
petits. Ce phénomène, appelé «p hénomène de Gibbs », fait l'objet de l'étude
effectuée dans cet exercice. Il fut pour la première fois expliqué du point de vue
mathématique par J. W. Gibbs
cao> en 1899. Ce phénomène reflète les difficultés
qu'il y a à approcher une fonction discontinue par une suite de polynômes trigonométriques (qui sont des fonctions continues) . Ce phénomène est également lié
au fait que la décroissance quand n tend vers l'infini des coefficients de Fo urier
d'une fonction est contrôlée par la régularité de cette fonction. Les fonctions
très régulières ont des coefficients de Fo urier qui décroissent très rapidement
quand n augmente, tandis que les fonctions discontinues ont des coefficients de
Fo urier qui décroissent très lentement.
Pour répondre aux questions qui suivent, on aura recours à MAPLE à chaque
fois que cela sera possible, en particulier pour effectuer tous les calculs longs et
fastidieux. To utefois, les résultats proposés devront être en totalité justifiés et
basés sur un raisonnement rigoureux.
On considère la fonction 2?r-périodique et impaire définie par f(O) = 0 et par
f(x) = �(7r - x) pour x E]O, 7r[.
1 - a) Déterminer la série de Fourier de f.
b) Représenter graphiquement sur l'intervalle [-27r, 27r] les sommes partielles de la série de Fourier de f correspondant aux rangs 6, 12 et 24 ainsi
que f. Qu'observe-t-on ?
On considère la. suite de fonctions (Sn )n définie pour n E N* par :
� sin(kx)
Sn : X E [-?r, 7r] t--t L.,, k .
k=l
2 - a) Vers quelle fonction converge la suite de fonctions (Sn)n ? Quel type de
convergence a-t-on ?
b) Montrer que pour tout x =1- 0 on a
S ' (x) = sin(nx/2) cos((n + l)x/2)
n
sin(x/2)
·
cao)
Grnss, Josiah Willard (1839, New Haven - 1903, New Haven). Physicien amencam,
J.W. Gibbs se distingua par ses importants travaux en thermodynamique et en mécanique statistique. En particulier, il appliqua les principes de la thermodynamique à
l'étude des phénomènes physico-chimiques, introduisant l'emploi de l'entropie dans les
diagrammes d'état.
Exercices de synthèse
Exercice 6.5 Phénomène de Gibbs
Au voisinage d'un point où une fonction f présente une discontinuité, les valeurs prises par les sommes partielles Sn de la série de Fo urier de f oscillent
autour de la valeur vers laquelle elles doivent converger et l'augmentation de
l'ordre n de la somme partielle considérée ne diminue pas l'amplitude de l'oscillation contrairement à ce que l'intuition pourrait suggérer. Au contraire, l'écart
reste toujours supérieur à une valeur seuil, aussi grand soit l'ordre de la somme
partielle. To utefois, l'oscillation s'effectue sur des intenralles de plus en plus
petits. Ce phénomène, appelé «p hénomène de Gibbs », fait l'objet de l'étude
effectuée dans cet exercice. Il fut pour la première fois expliqué du point de vue
mathématique par J. W. Gibbs
cao> en 1899. Ce phénomène reflète les difficultés
qu'il y a à approcher une fonction discontinue par une suite de polynômes trigonométriques (qui sont des fonctions continues) . Ce phénomène est également lié
au fait que la décroissance quand n tend vers l'infini des coefficients de Fo urier
d'une fonction est contrôlée par la régularité de cette fonction. Les fonctions
très régulières ont des coefficients de Fo urier qui décroissent très rapidement
quand n augmente, tandis que les fonctions discontinues ont des coefficients de
Fo urier qui décroissent très lentement.
Pour répondre aux questions qui suivent, on aura recours à MAPLE à chaque
fois que cela sera possible, en particulier pour effectuer tous les calculs longs et
fastidieux. To utefois, les résultats proposés devront être en totalité justifiés et
basés sur un raisonnement rigoureux.
On considère la fonction 2?r-périodique et impaire définie par f(O) = 0 et par
f(x) = �(7r - x) pour x E]O, 7r[.
1 - a) Déterminer la série de Fourier de f.
b) Représenter graphiquement sur l'intervalle [-27r, 27r] les sommes partielles de la série de Fourier de f correspondant aux rangs 6, 12 et 24 ainsi
que f. Qu'observe-t-on ?
On considère la. suite de fonctions (Sn )n définie pour n E N* par :
� sin(kx)
Sn : X E [-?r, 7r] t--t L.,, k .
k=l
2 - a) Vers quelle fonction converge la suite de fonctions (Sn)n ? Quel type de
convergence a-t-on ?
b) Montrer que pour tout x =1- 0 on a
S ' (x) = sin(nx/2) cos((n + l)x/2)
n
sin(x/2)
·
cao)
Grnss, Josiah Willard (1839, New Haven - 1903, New Haven). Physicien amencam,
J.W. Gibbs se distingua par ses importants travaux en thermodynamique et en mécanique statistique. En particulier, il appliqua les principes de la thermodynamique à
l'étude des phénomènes physico-chimiques, introduisant l'emploi de l'entropie dans les
diagrammes d'état.