Séries de Fourier
329
Remarque On sait très peu de chose sur les valeurs de I:�,:i ;P lorsque p
est un entier impair. Ainsi, il a fallu attendre 1979 pour que soit démontré par
Roger Apéry <28J le fait que I:�,:i 1/n3 est un nombre irrationnel.
<>
6.3 Exercices de synthèse
Exercice 6.4 Calcul de valeurs de la fonction ( de Ri emann
On s'intéresse au calcul de la valeur prise par la fonction ( de Riemann
( : x f-+ I:�,:i n- x en x = 2k où k E N*. On pourra consulter l'exercice 2.10
p. 96 pour l'étude de quelques propriétés de la fonctions ( de Riemann.
1 - Pour t E lR \ Z fixé, on considère l'application 27r-périodique f définie par
f(x) = cos(tx) pour tout x E) - 1f, 7r).
a) Calculer les coefficients de Fourier de f et donner l'expression de la série
de Fourier de f.
b) Indiquer sur quel ensemble la série de Fourier de f converge vers f.
c) En déduire que pour tout t E lR \ Z on a c29J
cotan( ?rt) = - - - '""' --1 (1 + oo 2t )
1f t L., n 2 - t 2
n =l
puis que pour tout x E lR \ 1fZ on a : x cotan(x) = 1 - I:!:i n 2;;� x 2 .
2
2 - a) Pour n E N* fixé, on définit l'application 9n : x E) - 1f, 7r[f-+ n 2,,. ";_ x 2.
Montrer que le développement en série entière de 9n dans un voisinage de
l'origine est I:t:i_(n1f) - 2k x 2k et indiquer le rayon de convergence de cette
série entière.
b) Pour N E N* ;, on définit SN : x E] - 1f, 7r[f-+ I::=l n 2;r� x 2 . Montrer
que le développement en série entière de SN dans un voisinage de l'origine que
l'on précisera est 2 I:t� ;h- (N (2k) x 2k où (N : x f-+ I::=l n-x.
l
'\' + oc
2 n
3 - a) Soit T : x E - 1f, 7r[f-+ 2 Lm = I ((2n)�; montrer que pour tout
x E) - 7r, 7r[ on a lim IT(x) - SN (x)I = O.
N -> + oo
b) En déduire que : x cotan(x) = 1-2 I:!:i ((2n)� pour tout x E]-1f, 7r[.
c)
On a effectué le calcul suivant avec MAPLE :
> taylor (x*cot (x) ,x=0,9) ;
1 2 1 4 2 6
1 8
10
1 - -x - -x - -x - --x + oo(x )
3
45
945
4725
Déduire, en le justifiant, les valeurs de ((2), ((4), ((6) et ((8).
(2 8 )
APÉRY, Roger (1916, Rouen - 1994, Caen). Mathématicien français.
(29) cotan désigne la fonction cotangente définie par cotan(x) = cos(x)/ sin(x) pour tout
X E lR \ 7TZ où lR \ 7TZ = {X E lR 1 Vk E z X -1- k1T}.
329
Remarque On sait très peu de chose sur les valeurs de I:�,:i ;P lorsque p
est un entier impair. Ainsi, il a fallu attendre 1979 pour que soit démontré par
Roger Apéry <28J le fait que I:�,:i 1/n3 est un nombre irrationnel.
<>
6.3 Exercices de synthèse
Exercice 6.4 Calcul de valeurs de la fonction ( de Ri emann
On s'intéresse au calcul de la valeur prise par la fonction ( de Riemann
( : x f-+ I:�,:i n- x en x = 2k où k E N*. On pourra consulter l'exercice 2.10
p. 96 pour l'étude de quelques propriétés de la fonctions ( de Riemann.
1 - Pour t E lR \ Z fixé, on considère l'application 27r-périodique f définie par
f(x) = cos(tx) pour tout x E) - 1f, 7r).
a) Calculer les coefficients de Fourier de f et donner l'expression de la série
de Fourier de f.
b) Indiquer sur quel ensemble la série de Fourier de f converge vers f.
c) En déduire que pour tout t E lR \ Z on a c29J
cotan( ?rt) = - - - '""' --1 (1 + oo 2t )
1f t L., n 2 - t 2
n =l
puis que pour tout x E lR \ 1fZ on a : x cotan(x) = 1 - I:!:i n 2;;� x 2 .
2
2 - a) Pour n E N* fixé, on définit l'application 9n : x E) - 1f, 7r[f-+ n 2,,. ";_ x 2.
Montrer que le développement en série entière de 9n dans un voisinage de
l'origine est I:t:i_(n1f) - 2k x 2k et indiquer le rayon de convergence de cette
série entière.
b) Pour N E N* ;, on définit SN : x E] - 1f, 7r[f-+ I::=l n 2;r� x 2 . Montrer
que le développement en série entière de SN dans un voisinage de l'origine que
l'on précisera est 2 I:t� ;h- (N (2k) x 2k où (N : x f-+ I::=l n-x.
l
'\' + oc
2 n
3 - a) Soit T : x E - 1f, 7r[f-+ 2 Lm = I ((2n)�; montrer que pour tout
x E) - 7r, 7r[ on a lim IT(x) - SN (x)I = O.
N -> + oo
b) En déduire que : x cotan(x) = 1-2 I:!:i ((2n)� pour tout x E]-1f, 7r[.
c)
On a effectué le calcul suivant avec MAPLE :
> taylor (x*cot (x) ,x=0,9) ;
1 2 1 4 2 6
1 8
10
1 - -x - -x - -x - --x + oo(x )
3
45
945
4725
Déduire, en le justifiant, les valeurs de ((2), ((4), ((6) et ((8).
(2 8 )
APÉRY, Roger (1916, Rouen - 1994, Caen). Mathématicien français.
(29) cotan désigne la fonction cotangente définie par cotan(x) = cos(x)/ sin(x) pour tout
X E lR \ 7TZ où lR \ 7TZ = {X E lR 1 Vk E z X -1- k1T}.