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Décomposition en série de Fo urier
On a donc a n = 0 si n est pair et non nul et a n =
- ;f,;- si n est impair. La
série de Fourier de f est donc
7T '"""
4
Sp(f)(x) = 2
-
L.., (2k l)2
cos((2k + l)x).
kElll + 7T
Puisque f est continue et dérivable par morceaux sur IR, d'après le théorème
de Dirichlet la série de Fourier de f converge vers f(x) pour tout x E IR, i.e.
'Vx E IR
+oo
4
f(x) = �
2
-
L (2 )
cos((2n + l)x).
n=O n + 1 7T
En prenant x = 0, on obtient à nouveau la relation obtenue dans l'exemple
précédent :
+oo
l
7T 2
� (2n + 1) 2 8
Par ailleurs, l'égalité de Parseval nous donne :
7T 2 16 + oo
1
1 [ 2 1r
2 r 2
2
+
7T 2 � (2n + 1)4 = :;;: J o f(x)2 dx = :;;: J o x2 dx = 3 7T 2 .
On en déduit la relation :
+oo
l
7T4
� (2n + 1)4
= 9 6
Reprenant l'approche utilisée dans l'exemple précédent, désignons par (Sn) n
la suite des sommes partielles associée à la série L n� l � qui est une série de
Riemann convergente et par (Tn)n la suite des sommes partielles associée à la
série L n (2 n � l )4 • Pour tout n E N* , on a
2n + l 1
n 1
n
1
1
S 2n+i = L k4 = L (2 )4
+ L (2 + 1)4 = 1 6
S n + Tn .
k=O
p =O p p= O p
Comme L n (2n � l ) 2 a pour somme 9� 7T4 , la suite (T n)n converge vers 9
1
6 7T4 . Par
ailleurs, puisque la suite de terme général S 2 n + l est extraite de la suite (Sn)n
qui converge vers la somme S de la série L n� l � , ces deux suites ont la même
limite. On en déduit que S = {6 S + 9
1
6 7T4 ce qui donne �� S = 9
1
6 7T4 . On en
conclut que
On pourra consulter l'exercice 6.4 pour une autre manière d'obtenir la va. leur
des sommes L�:i, 1/nP lorsque p est un entier pair.