Séries de Fourier
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Soit (Sn)n la suite des sommes partielles associée à la série L n;;;, l ,& qui est une
série de Riemann convergente et (Tn)n la suite des sommes partielles associée
à la série L n (2 n � l )2 . Pour tout n E N* , on a
2n+l l
n l
n
l
1
S 2n+l = L k2 = L (2 ) 2 + L (2 + 1 ) 2 = 4 Sn + Tn .
k=l
p=l p p=O p
Comme L n (2 n � l )2 a pour somme kn 2 , la suite (Tn)n converge vers kn 2 .
Puisque la suite de terme général S 2n+ i est extraite de la suite (Sn)n qui
converge vers S, ces deux suites ont la même limite. On déduit de la relation
précédente que :
ce qui donne �S = kn 2
; on a par conséquent :
Un second exemple
Soit f l' application 2n-périodique et paire définie sur [ü, n] par f(x) = x.
> f:=(n,x) ->piecewise (x>-Pi+2*n*Pi and x<2*n*Pi , -x+2*n*Pi,
x>2*n*Pi and x > N:=2:
> plot ( [seq(f (n ,x) ,n=-N .. N)] , x=-Pi-2*N*Pi .. Pi+2*N*Pi ,discont=true) ;
0
La parité de f implique que pour tout n E N on a bn = O. De plus,
et pour n EN*
. 1 r
7f
a0 = ;
J o x dx = 2
2
17T
2
17T
an = - f(x) cos(nx) clx = - xcos(nx) dx.
7f
0
7f
0
En intégrant par parties, on obtient :
2 [
] 1T 2
17T
2
an = - xsin(nx) - - sin(nx) clx = - 2 (cos(nn) - 1).
nn
o nn 0
nn