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Décomposition en série de Fo urier
L'application f étant impaire <2 1> , pour tout n EN on a an = 0 et
2 1"
2 11T
2
bn = - f(x) sin(nx) dx = - sin(nx) dx = -(1 - cos(mr)).
7r o
7r o
n7r
On a donc bn = 0 si n est pair et bn = n 4.r si n est impair. La série de Fourier
de f est donc
+oo
4
S F (f)(x) = � (2n + l)7r sin((2n + l)x).
Puisque f est dérivable par morceaux sur � et continue sur JO, 7r[U]7r, 27r[,
d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge vers f(x)
pour tout x E � \ 7rZ, i. e.
+oo
4
f(x) = L (2 ) sin((2n + l)x).
n =O n + 1 7r
A l'origine, l'application f est discontinue et lim x -o+ f(x) + lim x -o- f(x) = 0;
d'après le théorème de Dirichlet la série de Fourier de f converge en 0 vers O.
On a la même chose en 7r, puis par périodicité en tout x E 7rZ.
Comme sin( (2n+ 1 H) = sin(� +n7r) = ( -l) n , on obtient en choisissant x = 7r /2
dans la relation précédente :
4 +oo (-l) n
f(7r/2) = ; � (2n + 1) '
et puisque f(7r/2) = 1, on a établi la formule :
+oo (-l) n 7r
� (2n + 1)
=
4
L'égalité de Parseval nous indique par ailleurs que la série L n ( 2 n �l ) 2 converge
et que
16 +oo
1
1 1"
1 12"
2 L (2 1)2 =- 12 dx + - (-1)2 dx = 2.
7r n =O n +
7r O
7r "
On en déduit que :
<2 7> Voir le corollaire 6. 1 p. 315.
+oo
1
71"2
� (2n + 1)2
=
8