Séries de Fourier
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Démonstration Il est clair que les coefficients de Fourier de l'application nulle
sont tous nuls. Soit I une application 27r-périodique et Riemann-intégrable sur
[O, 27r] de coefficients de Fourier tous nuls. D'après l'égalité de Parseval, on a
1 1 2 71"
-
l(x) 2 dx = O.
7f 0
Comme I est continue sur [O, 27r], l'application 12 est elle aussi continue sur
[O, 27r]. On en déduit
<26> que 12 est l'application nulle ce qui implique que I est
également l'application nulle.
D
On déduit du corollaire 6.3 qu'une fonction continue est entièrement déterminée
par la donnée de ses coefficients de Fourier. En d'autres termes, on a le résultat
suivant.
COROLLAIRE 6.4 Si deux applications continues sur R et 27r-périodiques ont
les même coefficients de Fo urier alors ces deux applications sont ég ales.
Démonstration Si I et g sont deux applications continues sur R et
27r-périodiques ayant mêmes coefficients de Fourier alors l'application h = I - g
est une application continue et 27r-périodique qui a tous ses coefficients de Fourier nuls. D'après le corollaire 6.3, h est l'application nulle. On a donc I = g. D
6.2.4 Quelques exemples
En mathématiques, les séries de Fourier constituent un moyen de déterminer
la somme de certaines séries numériques. A titre d'illustration, nous allons voir
comment nous pouvons obtenir la somme de la série numérique L n� l ,&. On
comparera avec la méthode utilisée dans le chap. 1 (voir l'exercice 1.15 p. 53)
pour déterminer cette somme.
Un premier exemple
Considérons l'application 27r-périodique I définie sur [O, 27r( par :
l(x) = 1 pour x E]O, 7r[, l(x) = -1 pour x E]7r, 27r[ et l(O) = l(7r) =O.
> f:=(n,x)->p iecewise (x>0+2*n*Pi and x x>Pi+2*n*Pi and x<2*Pi+2*n*Pi ,-1,0) :
> N:=2:
> plot ( [seq(f (n ,x) ,n=-N .. N)] ,x=-2*N*Pi .. 2*N*Pi ,discont=true) ;
1
••
1 t
1
�I
1
t 1
-8
- 6
-4
-2
2
4
-1
X
<26> Voir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.
,.
1
6
8