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Décomposition en série de Fourier
Remarque On peut montrer que la conclusion du corollaire 6.2 est vraie avec
des hypothèses plus faibles. Il suffit que f soit une application 27r-périodique,
continue sur IR et de classe C 1 par morceaux sur IR pour que l'on puisse conclure
que la série de Fourier de f converge normalement sur IR et ait pour somme f. o
L ' 1
.
d
(2 4 )
d'
d .
e resu tat smvant, que nous a mettrons , est une gran e importance en
traitement du signal. La formule de Parseval indique que l'énergie totale d'un signal périodique s'obtient en sommant l'énergie des différentes « harmoniques »
du signal.
•
•
•
(25)
PROPOSITION 6.10 (Egahte de Parseval )
Soit f une application 27r-périodique, Riemann-intégrable sur [O, 27r], de coefficients de Fo urier (an)n et (bn)n· Les séries numériques L n a; et L n b;
convergent et on a
l { 2 .,..
+oo
- J o f(x) 2 dx = 2a� + L ( a; + b;) .
7f 0
n=l
Remarque L'égalité de Parseval permet d'affirmer qu'il existe des séries trigonométriques qui ne sont· série de Fourier d'aucune fonction 27r-périodique et
intégrable. C'est le cas par exemple de la série trigonométrique L n Jn sin(nx).
D'après la règle d'Abel pour les séries trigonométriques, voir la proposition 6.2
p. 302, cette série converge simplement sur IR \ 2 7f Z. Comme par ailleurs pour
x E 27rZ cette série est la série nulle, elle converge simplement sur IR. Si cette
série trigonométrique était la série de Fourier d'une fonction f 27r-périodique
et Riemann-intégrable sur [O, 27r] , alors on aurait :
1 { 2 71"
+oo 1
:;;: J o f(x) 2 dx = L: �·
O
n=l
Cette égalité conduit à une absurdité car comme f est supposée Riemannintégrable sur [O, 2 7f ] , l'intégrale f 0 2 .,.. f (x ) 2 dx est bien définie alors que la série
L n� l � diverge.
o
COROLLAIRE 6.3 L'unique application continue et 27r-périodique qui a tous
ses coefficients de Fo urier nuls est l'application nulle.
< 2 4 > Pour une démonstration, on pourra consulter : J. LELONG-FERRAND, J . M . ARNAUDIÈS,
Cours de Mathématiques, t. 2, p. 555.
< 25> DE PARSEVAL DES CHÊSNES, Marc-Antoine (1755, Rosières-aux-Salines -1836, Paris) .
Décomposition en série de Fourier
Remarque On peut montrer que la conclusion du corollaire 6.2 est vraie avec
des hypothèses plus faibles. Il suffit que f soit une application 27r-périodique,
continue sur IR et de classe C 1 par morceaux sur IR pour que l'on puisse conclure
que la série de Fourier de f converge normalement sur IR et ait pour somme f. o
L ' 1
.
d
(2 4 )
d'
d .
e resu tat smvant, que nous a mettrons , est une gran e importance en
traitement du signal. La formule de Parseval indique que l'énergie totale d'un signal périodique s'obtient en sommant l'énergie des différentes « harmoniques »
du signal.
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(25)
PROPOSITION 6.10 (Egahte de Parseval )
Soit f une application 27r-périodique, Riemann-intégrable sur [O, 27r], de coefficients de Fo urier (an)n et (bn)n· Les séries numériques L n a; et L n b;
convergent et on a
l { 2 .,..
+oo
- J o f(x) 2 dx = 2a� + L ( a; + b;) .
7f 0
n=l
Remarque L'égalité de Parseval permet d'affirmer qu'il existe des séries trigonométriques qui ne sont· série de Fourier d'aucune fonction 27r-périodique et
intégrable. C'est le cas par exemple de la série trigonométrique L n Jn sin(nx).
D'après la règle d'Abel pour les séries trigonométriques, voir la proposition 6.2
p. 302, cette série converge simplement sur IR \ 2 7f Z. Comme par ailleurs pour
x E 27rZ cette série est la série nulle, elle converge simplement sur IR. Si cette
série trigonométrique était la série de Fourier d'une fonction f 27r-périodique
et Riemann-intégrable sur [O, 27r] , alors on aurait :
1 { 2 71"
+oo 1
:;;: J o f(x) 2 dx = L: �·
O
n=l
Cette égalité conduit à une absurdité car comme f est supposée Riemannintégrable sur [O, 2 7f ] , l'intégrale f 0 2 .,.. f (x ) 2 dx est bien définie alors que la série
L n� l � diverge.
o
COROLLAIRE 6.3 L'unique application continue et 27r-périodique qui a tous
ses coefficients de Fo urier nuls est l'application nulle.
< 2 4 > Pour une démonstration, on pourra consulter : J. LELONG-FERRAND, J . M . ARNAUDIÈS,
Cours de Mathématiques, t. 2, p. 555.
< 25> DE PARSEVAL DES CHÊSNES, Marc-Antoine (1755, Rosières-aux-Salines -1836, Paris) .