Séries de Fourier
323
Considérons l'application g de ]O, 7r] dans � définie par
( ) f(xo + t ) - y (j + f(xo - t ) - Y o
gt = ----'----'--- ----'- -
"- � --'-- - ----'- --'--"- -
2 sin( �t)
Comme par hypothèse f est dérivable par morceaux, les deux limites suivantes
existent :
l . f (xo + t ) - Yd
a:= nu
t->O+
t
De plus, comme 2 sin( �t) rv t, on a
0
l . f(xo + t ) - Yd + f(xo - t ) - Y o
nu
i- o
2 sin( �t)
et f3 l . f(xo - t ) - Y o
=
nu
.
t->O
+
t
l . f (xo + t ) - Yd + f (xo - t ) - Y o
nu --'----'----=----'----'----=-t- o
t
a:+f3.
Ainsi l'application g est prolongeable par continuité en 0 en posant g(O) = a:+f3.
Comme f est 27r-périodique et dérivable par morceaux sur [O, 27r], l'application g est continue par morceaux sur (0, 7r] et par conséquent
<2 'l· Riemannintégrable sur [O, 7r]. On déduit du Lemme de Lebesgue (voir p. 317) que
lim S n(xo) - Yo = � lim (" g (t) sin((2n + l)�t) dt = O.
n- +oo
21f n-> +oo } 0
Ainsi, la suite (S n(xo))n converge et a pour limite Yo ; le théorème de Dirichlet
est démontré.
0
Remarque Il existe de nombreux autres résultats de convergence concernant
les séries de Fourier. Mentionnons par exemple le résultat suivant (théorème de
J d
(22)
) • 1
1.
. 2 , . d .
(23)
or an
: si est une app icat10n 7r-peno ique, monotone par morceaux
sur [O, 27r] alors la série de Fourier de f converge en xo E � et a pour somme
le réel H lim f ( x) + lim f ( x)) .
o
x-+xci
x-+xi)
COROLLAIRE 6.2 Soit f une application 27r-périodique, de classe C 2 sur K
La série de Fo urier de f converge normalement sur � et a pour somme f.
Démonstration D'après la proposition 6.9, la série de Fourier de f converge
normalement sur � et d'après le théorème de Dirichlet puisque f est continue
la série de Fourier de f converge simplement sur � et a pour somme f.
0
<21> Voir la proposition 18.3 p. 843 du Cours de première an née.
(22)
c
.
(
.
)
JORDAN, am1lle 1838, Lyon - 1922, Pans .
<23> Une application f de (a, b] dans IR est dite monotone par morceaux sur [a, b] s'il existe une
subdivision a = (x;}i E{ O,. .. ,n} de [a, b] telle que pour tout i E {1, ... , n} la restriction
de f à l'intervalle ouvert ]xi- i . xi[ coïncide avec la restriction d'une fonction monotone
sur l'intervalle fermé [xi- 1 . X i] ·
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Considérons l'application g de ]O, 7r] dans � définie par
( ) f(xo + t ) - y (j + f(xo - t ) - Y o
gt = ----'----'--- ----'- -
"- � --'-- - ----'- --'--"- -
2 sin( �t)
Comme par hypothèse f est dérivable par morceaux, les deux limites suivantes
existent :
l . f (xo + t ) - Yd
a:= nu
t->O+
t
De plus, comme 2 sin( �t) rv t, on a
0
l . f(xo + t ) - Yd + f(xo - t ) - Y o
nu
i- o
2 sin( �t)
et f3 l . f(xo - t ) - Y o
=
nu
.
t->O
+
t
l . f (xo + t ) - Yd + f (xo - t ) - Y o
nu --'----'----=----'----'----=-t- o
t
a:+f3.
Ainsi l'application g est prolongeable par continuité en 0 en posant g(O) = a:+f3.
Comme f est 27r-périodique et dérivable par morceaux sur [O, 27r], l'application g est continue par morceaux sur (0, 7r] et par conséquent
<2 'l· Riemannintégrable sur [O, 7r]. On déduit du Lemme de Lebesgue (voir p. 317) que
lim S n(xo) - Yo = � lim (" g (t) sin((2n + l)�t) dt = O.
n- +oo
21f n-> +oo } 0
Ainsi, la suite (S n(xo))n converge et a pour limite Yo ; le théorème de Dirichlet
est démontré.
0
Remarque Il existe de nombreux autres résultats de convergence concernant
les séries de Fourier. Mentionnons par exemple le résultat suivant (théorème de
J d
(22)
) • 1
1.
. 2 , . d .
(23)
or an
: si est une app icat10n 7r-peno ique, monotone par morceaux
sur [O, 27r] alors la série de Fourier de f converge en xo E � et a pour somme
le réel H lim f ( x) + lim f ( x)) .
o
x-+xci
x-+xi)
COROLLAIRE 6.2 Soit f une application 27r-périodique, de classe C 2 sur K
La série de Fo urier de f converge normalement sur � et a pour somme f.
Démonstration D'après la proposition 6.9, la série de Fourier de f converge
normalement sur � et d'après le théorème de Dirichlet puisque f est continue
la série de Fourier de f converge simplement sur � et a pour somme f.
0
<21> Voir la proposition 18.3 p. 843 du Cours de première an née.
(22)
c
.
(
.
)
JORDAN, am1lle 1838, Lyon - 1922, Pans .
<23> Une application f de (a, b] dans IR est dite monotone par morceaux sur [a, b] s'il existe une
subdivision a = (x;}i E{ O,. .. ,n} de [a, b] telle que pour tout i E {1, ... , n} la restriction
de f à l'intervalle ouvert ]xi- i . xi[ coïncide avec la restriction d'une fonction monotone
sur l'intervalle fermé [xi- 1 . X i] ·