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Décomposition en série de Fourier
elle est la restriction de la fonction x 1-t - sin(x) (resp. de la fonction sinus) qui
est de classe C 00 sur R donc qui est de classe ci sur [-?T, 0] (resp. sur [0,?T]).
De même l'application f3 est de classe c i par morceaux [-?T, ?Tj car sur [-?T, O[
elle est la restriction de la fonction
A..
R
{ - sin(x)/x si x =f. 0
"'· x E 1--t -1
sinon
qui est de classe c i sur R donc sur [-?T, O] . Sur ]O, ?Tj , f3 est la restriction de la
fonction -
admet une limite (resp. une dérivée) à gauche et à droite en chaque nœud de
la subdivision a = (xi)i E {O,. . . , n } de [ a, b] qui lui est associée.
THÉORÈME 6.1 (Théorème de Dirichlet)
Si f est une application 2?T-périodique, dérivable par morceaux sur [O, 2rr] alors
pour tout xo ER, la série de Fo urier de f converge. Sa somme en xo :
- vaut f (xo) si xo est un point où f est continue ;
- vaut � ( lim
+ f ( x) + li m _ f ( x)) si xo est un point où f est discontinue.
X--+Xo X --+ Xo
Démonstration Pour tout réel xo, notons y(j = limx --+x ci f(x) la limite de f à
gauche en xo, y0 = limx_,x- f(x) la limite de f à droite en xo et
0
Yo = ! (y{j + y0"). Notons que si xo est un point où f est continue alors
Yo = f(x0). Pour montrer que pour tout x0 E R, la série de Fourier de f
en xo converge et a pour somme Yo , nous allons montrer que la suite (Sn(xo)) n
des sommes partielles associée à la série de Fourier de f converge et a pour
limite Yo ·
D'après la formule de Dirichlet, voir le lemme 6.2, la somme partielle d' ordre n
en xo est donnée par : n
Sn(xo) = l:)ak cos(kxo) + bksin(kxo))
k==O
1 r
27T J o Kn(t) (f(xo + t) + f(xo - t)) dt,
où Kn est l' application 2rr-périodique définie sur [O, 2?T[ par
( ) sin(!(2n + l)x)
K n X =
i
2sin(2x) si x=f. 0 et
1
K n(O) = 2 (2n + 1).
Puisque f 0 1r Kn(t) dt = 7r (voir l' exercice 6.2) et que Yo = 2� f 0 1r 2yo dt, on a
Sn(xo) -yo =
=
1 ( "
27T J o (f(xo + t) + f(xo - t) - 2yo) K n( t) dt
2_ ( " f(xo + t) - y{j + f(xo - t) - Y o sin( l (2n + l)t) dt.
2?T Jo
2sin(!t)
2
Décomposition en série de Fourier
elle est la restriction de la fonction x 1-t - sin(x) (resp. de la fonction sinus) qui
est de classe C 00 sur R donc qui est de classe ci sur [-?T, 0] (resp. sur [0,?T]).
De même l'application f3 est de classe c i par morceaux [-?T, ?Tj car sur [-?T, O[
elle est la restriction de la fonction
A..
R
{ - sin(x)/x si x =f. 0
"'· x E 1--t -1
sinon
qui est de classe c i sur R donc sur [-?T, O] . Sur ]O, ?Tj , f3 est la restriction de la
fonction -
admet une limite (resp. une dérivée) à gauche et à droite en chaque nœud de
la subdivision a = (xi)i E {O,. . . , n } de [ a, b] qui lui est associée.
THÉORÈME 6.1 (Théorème de Dirichlet)
Si f est une application 2?T-périodique, dérivable par morceaux sur [O, 2rr] alors
pour tout xo ER, la série de Fo urier de f converge. Sa somme en xo :
- vaut f (xo) si xo est un point où f est continue ;
- vaut � ( lim
+ f ( x) + li m _ f ( x)) si xo est un point où f est discontinue.
X--+Xo X --+ Xo
Démonstration Pour tout réel xo, notons y(j = limx --+x ci f(x) la limite de f à
gauche en xo, y0 = limx_,x- f(x) la limite de f à droite en xo et
0
Yo = ! (y{j + y0"). Notons que si xo est un point où f est continue alors
Yo = f(x0). Pour montrer que pour tout x0 E R, la série de Fourier de f
en xo converge et a pour somme Yo , nous allons montrer que la suite (Sn(xo)) n
des sommes partielles associée à la série de Fourier de f converge et a pour
limite Yo ·
D'après la formule de Dirichlet, voir le lemme 6.2, la somme partielle d' ordre n
en xo est donnée par : n
Sn(xo) = l:)ak cos(kxo) + bksin(kxo))
k==O
1 r
27T J o Kn(t) (f(xo + t) + f(xo - t)) dt,
où Kn est l' application 2rr-périodique définie sur [O, 2?T[ par
( ) sin(!(2n + l)x)
K n X =
i
2sin(2x) si x=f. 0 et
1
K n(O) = 2 (2n + 1).
Puisque f 0 1r Kn(t) dt = 7r (voir l' exercice 6.2) et que Yo = 2� f 0 1r 2yo dt, on a
Sn(xo) -yo =
=
1 ( "
27T J o (f(xo + t) + f(xo - t) - 2yo) K n( t) dt
2_ ( " f(xo + t) - y{j + f(xo - t) - Y o sin( l (2n + l)t) dt.
2?T Jo
2sin(!t)
2