Séries de Fourier
321
Exemples
1 . La fonction partie entière est dérivable par morceaux sur {O, 5] (on peut dans
ce cas prendre la subdivision a = {O, 1, 2, 3, 4, 5} de l'intervalle [O, 5)).
2. Les fonctions fi : x r-+ JTXT, h : x r-+ J sin(x)J et h : x r-+ sin(x)/JxJ
sont dérivables sur [-7r, O[U]O, 7r]. Elles ne sont pas dérivables en O. Les applications fz et h sont toutefois dérivables par morceaux sur [-7r, 7r] (prendre
a = { -7r, 0, 7r} ). L'application fi n'est pas dérivable par morceaux sur [-7r, 7r],
voir la figure 3.
- -
fi
I
· . . .
/3
"·
.
..
. .
. . .. . . ./
7r
.... .. .. . - 1
Fig. 3 Exemple d'applications dérivables par morceaux
(h et h) et d'une application qui ne l'est pas (!1).
On définit de la même manière la notion d'application continue par morceaux
(resp. de classe c i par morceaux). Une application f de [a, b] dans � est dite
continue par morceaux (resp. de classe c i par morceaux) sur [a, b] s'il existe
une subdivision a = (xi)i E { O,. . .,n} de [a, b] telle que pour tout i E {1, ... , n} la
restriction de f à l'intervalle ouvert ]xi- i , xi[ coïncide avec la restriction d'une
fonction continue (resp. de classe C 1 ) sur l'intervalle fermé [xi - i ,xi]·
Il résulte de manière directe de ces définitions que toute application continue
(resp. dérivable, resp. de classe c i ) sur [a, b] est continue (resp. dérivable, resp.
de classe c i ) par morceaux sur [a, b] (considérer la subdivision a = {a, b} de
[a, b]). Par contre, une application continue (resp. dérivable, resp. de classe C 1 )
sur un intervalle ouvert ]a, b[ n'est pas nécessairement continue (resp. dérivable,
resp. de classe C 1 ) par morceaux sur [a, b] (considérer par exemple la fonction
logarithme sur ]O, l[). On notera également que toute fonction dérivable sur
un intervalle étant continue sur cet intervalle, une application dérivable par
morceaux sur un intervalle [a, b] est continue par morceaux sur cet intervalle.
De même, une application de classe C 1 par morceaux sur [a, b] est dérivable par
morceaux et par conséquent continue par morceaux sur [a, b].
Sur l'exemple présenté figure 3, les applications fi et fz sont continues sur
[-7r, 7r] et l'application h est continue par morceaux sur [-7r, 7r]. L'application fz est de classe c i par morceaux [-7r, 7r] car sur [-7r,O[ (resp. sur ]0, 7r))
321
Exemples
1 . La fonction partie entière est dérivable par morceaux sur {O, 5] (on peut dans
ce cas prendre la subdivision a = {O, 1, 2, 3, 4, 5} de l'intervalle [O, 5)).
2. Les fonctions fi : x r-+ JTXT, h : x r-+ J sin(x)J et h : x r-+ sin(x)/JxJ
sont dérivables sur [-7r, O[U]O, 7r]. Elles ne sont pas dérivables en O. Les applications fz et h sont toutefois dérivables par morceaux sur [-7r, 7r] (prendre
a = { -7r, 0, 7r} ). L'application fi n'est pas dérivable par morceaux sur [-7r, 7r],
voir la figure 3.
- -
fi
I
· . . .
/3
"·
.
..
. .
. . .. . . ./
7r
.... .. .. . - 1
Fig. 3 Exemple d'applications dérivables par morceaux
(h et h) et d'une application qui ne l'est pas (!1).
On définit de la même manière la notion d'application continue par morceaux
(resp. de classe c i par morceaux). Une application f de [a, b] dans � est dite
continue par morceaux (resp. de classe c i par morceaux) sur [a, b] s'il existe
une subdivision a = (xi)i E { O,. . .,n} de [a, b] telle que pour tout i E {1, ... , n} la
restriction de f à l'intervalle ouvert ]xi- i , xi[ coïncide avec la restriction d'une
fonction continue (resp. de classe C 1 ) sur l'intervalle fermé [xi - i ,xi]·
Il résulte de manière directe de ces définitions que toute application continue
(resp. dérivable, resp. de classe c i ) sur [a, b] est continue (resp. dérivable, resp.
de classe c i ) par morceaux sur [a, b] (considérer la subdivision a = {a, b} de
[a, b]). Par contre, une application continue (resp. dérivable, resp. de classe C 1 )
sur un intervalle ouvert ]a, b[ n'est pas nécessairement continue (resp. dérivable,
resp. de classe C 1 ) par morceaux sur [a, b] (considérer par exemple la fonction
logarithme sur ]O, l[). On notera également que toute fonction dérivable sur
un intervalle étant continue sur cet intervalle, une application dérivable par
morceaux sur un intervalle [a, b] est continue par morceaux sur cet intervalle.
De même, une application de classe C 1 par morceaux sur [a, b] est dérivable par
morceaux et par conséquent continue par morceaux sur [a, b].
Sur l'exemple présenté figure 3, les applications fi et fz sont continues sur
[-7r, 7r] et l'application h est continue par morceaux sur [-7r, 7r]. L'application fz est de classe c i par morceaux [-7r, 7r] car sur [-7r,O[ (resp. sur ]0, 7r))