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Décomposition en série de Fo urier
Il résulte de la proposition 6.8 que plus une fonction est régulière et plus les
suites (an)n et (bn)n de ses coefficients de Fourier tendent rapidement vers O.
Si f est une application 27r-périodique de classe c k sur Ill , la proposition 6.7
indique que les coefficients de Fourier de l'application J( k ) tendent vers 0, ce
qui compte tenu de la proposition 6.8 implique que an = 0+00(n - k ) et que
bn = 0+00 (n - k ).
6.2.3 Convergence d'une série de Fourier
PROPOSITION 6.9 Soit f une application 27r-périodique, de classe C2 sur Ill .
La série de Fo urier de f converge normalement sur R
Démonstration En appliquant les relations de la proposition 6.8 pour n = 2,
on obtient :
et bn (!) = - -.;. bn (!") .
n
Puisque f est de classe C2 sur IR, f" est une application continue sur (0, 27r]. Par
conséquent, sur l'intervalle fermé borné (0, 2 7f ], l'application f" est bornée <19> et
atteint ses bornes. En désignant par M la borne supérieure de lf"I sur [O, 27r],
on obtient
lan(f") I = 1� f 2 7r f" (x) cos(nx) dxl � � f 2 7r lf" (x)I jcos(nx)I dx � 2M.
7f J 0
7f J 0 '-v-' ,___ _.
�M
�l
Par un calcul analogue, on obtient également lbn(f")I � 2M. On en conclut
que pour tout n E N*,
2M
lbn U )I � - 2
·
n
Les critères de comparaison pour les séries numériques <2 0> permettent d'affirmer
que les séries L n an (!) et L n bn(f) convergent absolument. La proposition 6. 1
permet de conclure que la série de Fourier de f convergence normalement
sur R
0
DÉFINITION 6.3 (Dérivabilité par morceaux)
Une application f définie sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles est dite dérivable par morceaux sur [a, b] s ' il existe une subdivision a = (xi)i E { O, ... ,n} de
[a, b] telle que pour tout i E { 1, ... , n} la restriction de f à l ' intervalle ouvert
]xi-I, Xi[ coïncide avec la restriction d ' une fonction dérivable sur l ' intervalle
fermé [Xi-I,Xi]·
<19> Voir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année.
<20> voir le théorème 1.2 p. 14.