Séries de Fourier
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� Supposons la propriété vraie pour un entier k � 1 donné et montrons qu'elle
est alors également vraie pour l'entier suivant k + 1. Soit f une application
2n-périodique, de classe C k+ 1 sur 1R. L'application J( k ) est de classe C1 sur
[O, 2n] et en intégrant par parties, on obtient
1 1 2 1!"
-
·
f( k ) (x) cos(nx) dx
71" 0
1
2 1r 1 1 2 1!"
[ - sin(nx) f( k ) (x)] - - J( k+ll (x) sin(nx) dx.
nn
o
nn 0
Comme f est 2n-périodique et de classe C k+ 1 sur IR, ses dérivées successives
jusqu'à l'ordre k + 1 sont également 2n-périodiques ci a ) , ce qui implique que le
premier terme du membre de droite est nul. L'intégrale dans le second terme
du membre de droite étant égale à nb n (f( k+l ) ), on en déduit que
Un calcul similaire permet d'établir que
1> Une application de classe C k+ 1 étant de classe C k , il résulte de l'hypothèse
de récurrence que si k est impair (autrement dit si f, = k + 1 est pair) alors
et
1> Par ailleurs, il résulte de l'hypothèse de récurrence que si k est pair (autrement
dit si f, = k + 1 est impair) alors
et
k
k
.f.t!
b n (f) = (-l
t b n (f( k )) = (k
l
+
)
1
2 a n (f( k+l ) ) = - (- l)
e a n (f( l) ).
n
n
n
Dans les deux cas (k pair et k impair) les relations sont vraies pour l'entier
f, = k + 1. La propriété est donc bien héréditaire.
0
(t a ) On notera que pour effectuer l'intégration par parties, il suffit que f soit de classe c k + l
sur [O, 27r] (en fait que f admette une dérivée (k + 1)-ième qui soit Riemann-intégrable) .
Par contre, il est indispensable de supposer que f est de classe c k + l sur IR pour que
f ( k + l) soit une fonction périodique définie sur R