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Décomposition en série de Fourier
où w = 27r/(b - a), convergent vers O.
3. On a également le résultat suivant appelé Lemme de Lebesgue que nous
admettrons : si f est une application de [a, b] dans IR, Riemann-intégrable sur
[a, b] alors les applications
A: x E lR - lb f(t) cos(tx) dt et B : x E lR - lb f(t) sin(tx) dt
tendent vers 0 quand le réel x tend vers +oo.
0
PROPOSITION 6.8 Soit f une application 27r-périodique de classe C k sur R
Pour n E N*, les coefficients de Fo urier an( !) et bn (f) de f et les coefficients
de Fo urier an(J( k )) et bn(J( k )) de J( k) sont liés par les relations suivantes :
1. si k E N* est pair alors :
2. si k E N* est impair alors :
Démonstration Démontrons le résultat en utilisant un raisonnement par récurrence portant sur l'entier k.
� Considérons une application 2n-périodique f de classe c i sur R Comme f
est une application dérivable et 27r-périodique, sa dérivée f' est définie sur lR
et est elle aussi 27r-périodique. De plus, comme f est de classe ci sur IR, f'
est continue sur [O, 27r] donc intégrable sur [O, 27r]. En intégrant par parties, on
obtient pour n E N* :
1 2 71"
1
2 7r 1 1 2 71"
7rbn (f) =
f(x) sin(nx) dx = [ -- cos(nx) f(x)] +- J'(x) cos(nx) dx.
0
n
o n 0
Comme f est 2n-périodique, on a [ cos(nx)f(x)J:
7r = f(2n) -f(O) = 0, ce qui
implique que
1 1 2 71"
1
bn (f) = -
f' (x) cos(nx) dx = - an(! ' ) .
n7r 0
n
Par un calcul analogue, on obtient
La propriété est établie pour k = 1.