Séries de Fourier
Fig. 2 Deux fonctions en escaliers vérifiant 1/Jc < f < ef>c ; la
surface de la partie grisée correspond à J� " (if>, ( x) - 'If;, ( x)) dx.
Par ailleurs, pour tout n E N*, on a
1r an = 1 2" f(x) cos(nx) dx
= 1 2" (f(x) - 317
Notons an = � J� " Fourier de rang n de sur [ü, 27r], d'après ce qui a été établi dans la première partie de la démonstration
•
(17)
la smte (an)n converge vers O. On a donc
3N E N Vn E N (n � N ==} lanl ::; ; !€) .
On déduit des assertions (9) et (10) que pour tout entier n � N on a
17ranl = 1 1 2" (f(x) - ::; ; 1 1 2" (f(x) - (10)
Pour tout entier n � Non a donc lanl ::; ; €. L'assertion (8) est démontrée. On
procède de la même manière pour montrer que limn--++oo bn = O.
D
Remarques
1. Le résultat de la proposition 6.8 demeure vrai si f est localement Riemannintégrable sur [O, 27r] .
2. On déduit de la proposition 6.8 en considérant le changement de variable
x 1-+ 27r(x - a)/(b - a) que si f est une application de [a, b] dans IR, Riemannintégrable sur [a, b] alors les suites (an)n et (f3n)n de terme général
Œn = 1 b f(t) cos(nwt) dt et f3n = 1 b f(t) sin(nwt) dt